Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Si $p(x)=2x^2+x$ y ${[p(x)]}_B=\begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}$, entonces $B$ es la base canónica $\{ x^2,x,1 \}$.

b. Sea $V=\mathbb{R}^3$. Se define el subconjunto $H$ de $V$ como$H=\left\{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3\; ; \; x^2+y^2+z^2 \le 0 \right\}$Entonces $H$ es un subespacio vectorial de $V$.

c. Sea $V$ el espacio vectorial de las funciones continuas definidas sobre el conjunto de los números reales. Sea $H$ el subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores $\{ 1,\cos x,\sin x \}$, entonces el vector $u=\tan x$ pertenece al subespacio vectorial $H$.

d. Sean $A$ y $B$ dos matrices de cambio de base en un espacio vectorial $V$, entonces se cumple que $det(A+B)\ne 0$.