A continuación se presentan cinco enunciados, cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones correctas (más de una puede ser correcta en cada caso). Marque, con una X, aquella o aquellas opciones correctas.
Literal a. Dado el sistema de ecuaciones \begin{pmatrix}1&1&1\\0&a-2&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\b+1\end{pmatrix}se cumple que:
a.1. No es posible hallar valores de a,b tales que el sistema tenga solución única.
a.2. Si a\in \mathbb{R} y b\neq-1 el sistema tiene infinitas soluciones.
a.3. Si a\neq 2 y b\neq-1 el sistema tiene infinitas soluciones.
a.4. Si a\neq 2 y b=-1 el sistema tiene infinitas soluciones.
Literal b. Sea (V,\mathbb{K}) un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K}. Si W_1 y W_2 son subespacios de V, entonces se cumple que:
b.1. W_1 \cap W_2 \subseteq W_1 \cup W_2 \subseteq W_1 + W_2.
b.2. Si W_1 + W_2 es un subespacio vectorial de V, entonces W_1 \cup W_2 siempre es un subespacio de V.
b.3. W_1 + W_2 es el menor subespacio que contiene a W_1 \cup W_2.
b.4. W_1 \cap W_2, W_1 + W_2 son subespacios.
Literal c. Dada la matriz B=\begin{pmatrix}\begin{array} {rrrr} 2&-4&0&0 \\ -1&2&0&0 \\ 0&0&1&2 \end{array}\end{pmatrix}, se cumple que:
c.1. El vector(4,-2,-3)^T está en el espacio columna de B.
c.2. La nulidad de B es 2.
c.3. Todo vector de la forma (-2y,y,z)^T, con y,z\in \mathbb{R}, pertenece a la imagen de B.
c.4. El vector(4,-2,-3)^T está en el núcleo de B.
Literal d. Considerando V=\{(a,b,c,1)^T : a\in\mathbb{R^+}\enspace b,c\in\mathbb{R}\} con las operaciones\begin{pmatrix}a\\b\\c\\1\end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}aa'\\b+b'+5\\c+c'\\1\end{pmatrix}\alpha \odot \begin{pmatrix}a\\b\\c\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^\alpha\\\alpha b+5\alpha-5\\ \alpha c\\1\end{pmatrix}se cumple que:
d.1. Dados (a,b,c,1)^T, (a',b',c',1)^T en V, se tiene que\begin{pmatrix}a\\b\\c\\1\end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\\1\end{pmatrix} es un número real positivo.
d.2. El elemento neutro para la adición en V es \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1\\-5\\0\\1 \end{array} \end{pmatrix}.
d.3. Si (a,b,c,d)^T \in V, entonces su elemento opuesto es \begin{pmatrix} \frac{1}{a} \\-b-10\\c\\1\end{pmatrix}.
d.4. 2 \odot \begin{pmatrix}1\\0\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5\\6\\1\end{pmatrix}.
Literal e. Sea (V,\mathbb{K}) un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K} y B=\{v_1,v_2,v_3\} una base para V, entonces se cumple que:
e.1. \{v_1,v_2,v_3\} es un conjunto linealmente independiente en V.
e.2. \{v_1+2v_2\} es es un conjunto linealmente independiente en V.
e.3. gen\{v_1,2v_1\} es un subespacio de V.
e.4. Existe una base de V que contiene al conjunto \{v_1+v_2,v_2+v_3\}
