Tema 1

A continuación se presentan cinco enunciados, cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones correctas (más de una puede ser correcta en cada caso). Marque, con una $X$, aquella o aquellas opciones correctas.

Literal a. Dado el sistema de ecuaciones $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a-2&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\b+1\end{pmatrix}$se cumple que:

a.1. No es posible hallar valores de $a$,$b$ tales que el sistema tenga solución única.
a.2. Si $a\in \mathbb{R}$ y $b\neq-1$ el sistema tiene infinitas soluciones.
a.3. Si $a\neq 2$ y $b\neq-1$ el sistema tiene infinitas soluciones.
a.4. Si $a\neq 2$ y $b=-1$ el sistema tiene infinitas soluciones.

Literal b. Sea $(V,\mathbb{K})$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$. Si $W_1$ y $W_2$ son subespacios de $V$, entonces se cumple que:

b.1. $W_1 \cap W_2 \subseteq W_1 \cup W_2 \subseteq W_1 + W_2$.
b.2. Si $W_1 + W_2$ es un subespacio vectorial de $V$, entonces $W_1 \cup W_2$ siempre es un subespacio de $V$.
b.3. $W_1 + W_2$ es el menor subespacio que contiene a $W_1 \cup W_2$.
b.4. $W_1 \cap W_2$, $W_1 + W_2$ son subespacios.

Literal c. Dada la matriz $B=\begin{pmatrix}\begin{array} {rrrr} 2&-4&0&0 \\ -1&2&0&0 \\ 0&0&1&2 \end{array}\end{pmatrix}$, se cumple que:

c.1. El vector$(4,-2,-3)^T$ está en el espacio columna de $B$.
c.2. La nulidad de $B$ es $2$.
c.3. Todo vector de la forma $(-2y,y,z)^T$, con $y,z\in \mathbb{R}$, pertenece a la imagen de $B$.
c.4. El vector$(4,-2,-3)^T$ está en el núcleo de $B$.

Literal d. Considerando $V=\{(a,b,c,1)^T : a\in\mathbb{R^+}\enspace b,c\in\mathbb{R}\}$ con las operaciones$\begin{pmatrix}a\\b\\c\\1\end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}aa'\\b+b'+5\\c+c'\\1\end{pmatrix}$$\alpha \odot \begin{pmatrix}a\\b\\c\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^\alpha\\\alpha b+5\alpha-5\\ \alpha c\\1\end{pmatrix}$se cumple que:

d.1. Dados $(a,b,c,1)^T$, $(a',b',c',1)^T$ en $V$, se tiene que$\begin{pmatrix}a\\b\\c\\1\end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\\1\end{pmatrix}$ es un número real positivo.
d.2. El elemento neutro para la adición en $V$ es $\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1\\-5\\0\\1 \end{array} \end{pmatrix}$.
d.3. Si $(a,b,c,d)^T \in V$, entonces su elemento opuesto es $\begin{pmatrix} \frac{1}{a} \\-b-10\\c\\1\end{pmatrix}$.
d.4. $2 \odot \begin{pmatrix}1\\0\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5\\6\\1\end{pmatrix}$.

Literal e. Sea $(V,\mathbb{K})$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$ y $B=\{v_1,v_2,v_3\}$ una base para $V$, entonces se cumple que:

e.1. $\{v_1,v_2,v_3\}$ es un conjunto linealmente independiente en $V$.
e.2. $\{v_1+2v_2\}$ es es un conjunto linealmente independiente en $V$.
e.3. $gen\{v_1,2v_1\}$ es un subespacio de $V$.
e.4. Existe una base de $V$ que contiene al conjunto $\{v_1+v_2,v_2+v_3\}$