A continuación se presentan cinco enunciados, a cada uno de los cuales se le han adjuntado cuatro proposiciones, donde al menos una es verdadera. Determine y marque en el círculo correspondiente, la o las opciones correctas.
Literal a. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita, definidos sobre un mismo campo \mathbb{K}. Si T:V\longrightarrow W es una transformación lineal y B=\{ u_1,u_2,...,u_n\} es una base del espacio V, entonces es cierto que:
| a.1. | T es inyectiva si, y sólo si, Ker(T)=\{\bold{0}_W\} genera a W. |
| a.2. | T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) son vectores linealmente independientes en W. |
| a.3. | T es sobreyectiva si, y sólo si, \{ T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) \} genera a W. |
| a.4. | T es un isomorfismo si, y sólo si, \{ T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) \} es una base de W. |
Literal b. Sea V un espacio vectorial, de dimensión finita, definido sobre un campo \mathbb{K}. Si S_1 y S_2 son subespacios de V, entonces es cierto que:
| b.1. | dim(S_1 + S_2)=dim(S_1)+dim(S_2). |
| b.2. | S_1 + S_1^\perp = \{\bold{0}_V\}. |
| b.3. | (S_1^\perp)^\perp \subseteq S_1. |
| b.4. | En general, S_1 \cup S_2 es un subespacio. |
Literal c. Dada la representación matricial de un sistema de ecuaciones, y realizadas las operaciones elementales de filas se obtiene la matriz\begin{pmatrix}\begin{array} {ccc|c} 1&1&a&a \\ 0&a-1&1-a&0 \\ 0&0&2-a-a^2&1-a^2 \end{array}\end{pmatrix}entonces es cierto que:
| c.1. | Ningún sistema de ecuaciones puede tener esta matriz como representación matricial. |
| c.2. | Si a\neq 1 y a\neq -2 el sistema tiene solución única. |
| c.3. | Para a=1 el sistema tiene infinitas soluciones. |
| c.4. | Para a=-2 el sistema no tiene solución. |
Literal d. Sea V un espacio vectorial, de dimensión finita y definido sobre un campo \mathbb{K}, entonces es cierto que:
| d.1. | Si B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es un conjunto linealmente independiente en V, entonces \{ v_2,...,v_n \} también es un conjunto linealmente independiente en V. |
| d.2. | Si B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es un conjunto linealmente independiente en V y w\in V es un vector no nulo, entonces \{v_1,v_2,...,v_n,w \} también es un conjunto linealmente independiente en V. |
| d.3. | Si B_1=\{ v_1,v_2,...,v_n \} y B_2=\{ u_1,u_2,...,u_n \} son dos bases de V, B_1 \cap B_2 también es una base en V. |
| d.4. | Si B_1=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es una base de V, entonces \{ v_1,v_1+v_2,v_1+v_3,...,v_1+v_n \} es también una base de V. |
Literal e. Sean u_1 y u_2 dos vectores propios de la matriz A\in M_n{(\mathbb{R})} asociados al autovalor \lambda. Es cierto que:
| e.1. | u_1-u_2 es vector propio asociado a A^2-A. |
| e.2. | u_1+u_2 es vector propio asociado al valor propio \lambda. |
| e.3. | u_1\perp u_2. |
| e.4. | La multiplicidad geométrica de \lambda debe ser 2. |
