Tema 1

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 1

A continuación se presentan cinco enunciados, a cada uno de los cuales se le han adjuntado cuatro proposiciones, donde al menos una es verdadera. Determine y marque en el círculo correspondiente, la o las opciones correctas.

Literal a. Sean VV y WW espacios vectoriales de dimensión finita, definidos sobre un mismo campo K\mathbb{K}. Si T:VWT:V\longrightarrow W es una transformación lineal y B={u1,u2,...,un}B=\{ u_1,u_2,...,u_n\} es una base del espacio VV, entonces es cierto que:

a.1. T es inyectiva si, y sólo si, Ker(T)={0W}Ker(T)=\{\bold{0}_W\} genera a WW.
a.2. T(u1),T(u2),...,T(un)T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) son vectores linealmente independientes en WW.
a.3. TT es sobreyectiva si, y sólo si, {T(u1),T(u2),...,T(un)}\{ T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) \} genera a WW.
a.4. TT es un isomorfismo si, y sólo si, {T(u1),T(u2),...,T(un)}\{ T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) \} es una base de WW.

Literal b. Sea VV un espacio vectorial, de dimensión finita, definido sobre un campo K\mathbb{K}. Si S1S_1 y S2S_2 son subespacios de VV, entonces es cierto que:

b.1. dim(S1+S2)=dim(S1)+dim(S2)dim(S_1 + S_2)=dim(S_1)+dim(S_2).
b.2. S1+S1={0V}S_1 + S_1^\perp = \{\bold{0}_V\}.
b.3. (S1)S1(S_1^\perp)^\perp \subseteq S_1.
b.4. En general, S1S2S_1 \cup S_2 es un subespacio.

Literal c. Dada la representación matricial de un sistema de ecuaciones, y realizadas las operaciones elementales de filas se obtiene la matriz(11aa0a11a0002aa21a2)\begin{pmatrix}\begin{array} {ccc|c} 1&1&a&a \\ 0&a-1&1-a&0 \\ 0&0&2-a-a^2&1-a^2 \end{array}\end{pmatrix}entonces es cierto que:

c.1. Ningún sistema de ecuaciones puede tener esta matriz como representación matricial.
c.2. Si a1a\neq 1 y a2a\neq -2 el sistema tiene solución única.
c.3. Para a=1a=1 el sistema tiene infinitas soluciones.
c.4. Para a=2a=-2 el sistema no tiene solución.

Literal d. Sea VV un espacio vectorial, de dimensión finita y definido sobre un campo K\mathbb{K}, entonces es cierto que:

d.1. Si B={v1,v2,...,vn}B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es un conjunto linealmente independiente en VV, entonces {v2,...,vn}\{ v_2,...,v_n \} también es un conjunto linealmente independiente en VV.
d.2. Si B={v1,v2,...,vn}B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es un conjunto linealmente independiente en VV y wVw\in V es un vector no nulo, entonces {v1,v2,...,vn,w}\{v_1,v_2,...,v_n,w \} también es un conjunto linealmente independiente en VV.
d.3. Si B1={v1,v2,...,vn}B_1=\{ v_1,v_2,...,v_n \} y B2={u1,u2,...,un}B_2=\{ u_1,u_2,...,u_n \} son dos bases de VV, B1B2B_1 \cap B_2 también es una base en VV.
d.4. Si B1={v1,v2,...,vn}B_1=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es una base de VV, entonces {v1,v1+v2,v1+v3,...,v1+vn}\{ v_1,v_1+v_2,v_1+v_3,...,v_1+v_n \} es también una base de VV.

Literal e. Sean u1u_1 y u2u_2 dos vectores propios de la matriz AMn(R)A\in M_n{(\mathbb{R})} asociados al autovalor λ\lambda. Es cierto que:

e.1. u1u2u_1-u_2 es vector propio asociado a A2AA^2-A.
e.2. u1+u2u_1+u_2 es vector propio asociado al valor propio λ\lambda.
e.3. u1u2u_1\perp u_2.
e.4. La multiplicidad geométrica de λ\lambda debe ser 2.

Publicado por

Fernando Tenesaca

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