Tema 6

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 6

Considere el siguiente teorema:

Sea VV un espacio vectorial sobre un campo K\mathbb{K} y sea DD un subconjunto de VV linealmente independiente. Si v0Vv_0 \in V es un elemento tal que v0gen(D)v_0 \notin gen(D), entonces el conjunto D{v0}D\cup \{ v_0 \} es un conjunto linealmente independiente.

A continuación, se presenta un conjunto de pasos que ordenados pertinentemente representan la demostración de este teorema. En cada círculo en blanco indique el orden que corresponda al paso adjunto para que la demostración sea expresada de manera correcta.

\bigcirc En consecuencia D{v0}D\cup \{ v_0\} es un conjunto linealmente independiente.
\bigcirc Lo cual contradice la elección de v0v_0.
\bigcirc α0\alpha_0 debe ser distinto de cero, de otro modo DD sería linealmente independiente, lo cual sería una contradicción.
\bigcirc Entonces existen elementos v1,v2,...,vnDv_1,v_2,...,v_n \in D y escalares α0,α1,α2,...,αn\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n no todos iguales a cero, tales que α0v0+α1v1+α2v2+...+αnvn=0V\alpha_0 v_0+\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n=0_V.
\bigcirc Así v0=α1α0v1+α2α0v2+...+αnα0vnv_0=\frac{\alpha_1}{\alpha_0}v_1+\frac{\alpha_2}{\alpha_0}v_2+...+\frac{\alpha_n}{\alpha_0}v_n.
\bigcirc Suponga que el conjunto D{v0}D\cup \{ v_0 \} es linealmente dependiente.

Publicado por

Fernando Tenesaca

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