Tema 5

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 5

Sea el sistema de ecuaciones lineales{x+y+z=ax+2yz=bx+yz=c\left\{ \begin{aligned} x+y+z&=a \\ x+2y-z&=b \\ x+y-z&=c \end{aligned} \right.Considere al sistema como el modelo AX=BAX=B, siendoB=(abc)B=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}Determine qué valores deben tomar los elementos del vector BB para que el sistema de ecuaciones lineales sea consistente.

Tema 4

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 4

Sean las matrices A=(1211)A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr}1&2\\-1&1 \end{array} \end{pmatrix} y B=(0112)B=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr}0&-1\\1&2 \end{array} \end{pmatrix}, encuentre la matriz XX tal que (AXT+B)T=X(AX^T+B)^T=X.

Tema 3

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 3

Un nutricionista considera que una persona en su dieta debe de consumir diariamente trece unidades de carbohidratos, veintidós de proteínas, y treinta y uno de grasas. Un restaurante lanza tres tipos de platos. El plato uno contiene una unidad de carbohidrato, una unidad de proteína y una unidad de grasa, El plato 2 contiene una unidad de carbohidrato, dos unidades de proteínas y tres unidades de grasas. El plato tres contiene cuatro unidades de carbohidratos, siete de proteínas y diez de grasas. Encuentre las distintas combinaciones de platos (uno, dos y tres) que debería consumir una persona en el día para que complete los niveles de carbohidratos, proteínas y grasas que sugiere el nutricionista en una dieta diaria. Las personas no aceptan servirse fracciones de platos.

Tema 2

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 2

Sea el espacio vectorial V=M2×2V=M_{2\times 2}. Sean los subespacios vectorialesH={(abcd)M2×2;c=2abd=ab}W=gen{(1151),(2221)}\begin{aligned}H&=\left\{ \left(\begin{array}{rr}a & b \\c & d \end{array} \right) \in \mathbb{M}_{2\times 2}\; ;\; c=2a-b\; \land \; d=a-b \right\}\\W& =gen \left\{ \left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\5 & 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{rr}2 & 2 \\2 & 1 \end{array} \right) \right\} \end{aligned}

a. Halle HWH\cap W y H+WH+W.

b. ¿Pertenece el vector A=(9875)A=\left(\begin{array}{rr}9 & 8 \\7 & 5 \end{array}\right) al subespacio H+WH+W? Justifique su respuesta.

Tema 1

Examen | 2016-2017 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Si p(x)=2x2+xp(x)=2x^2+x y [p(x)]B=(210){[p(x)]}_B=\begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}, entonces BB es la base canónica {x2,x,1}\{ x^2,x,1 \}.

b. Sea V=R3V=\mathbb{R}^3. Se define el subconjunto HH de VV comoH={(xyz)R3;x2+y2+z20}H=\left\{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3\; ; \; x^2+y^2+z^2 \le 0 \right\}Entonces HH es un subespacio vectorial de VV.

c. Sea VV el espacio vectorial de las funciones continuas definidas sobre el conjunto de los números reales. Sea HH el subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores {1,cosx,sinx}\{ 1,\cos x,\sin x \}, entonces el vector u=tanxu=\tan x pertenece al subespacio vectorial HH.

d. Sean AA y BB dos matrices de cambio de base en un espacio vectorial VV, entonces se cumple que det(A+B)0det(A+B)\ne 0.

Tema 6

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 6

Para el operador lineal en P2\mathbb{P}_2 definido como T(p(x))=(x1)p(x)+p(0)T(p(x))=(x-1)p'(x)+p(0). Halle la representación matricial de TT usando la siguiente base para P2\mathbb{P}_2:B1=B2={x1,x+1,x2+1}B_1=B_2=\{ x-1,x+1,x^2+1 \}

Tema 5

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 5

Sea V=R4V=\mathbb{R}^4 y sea H={vR4;v=(a,b,b,a);a,bR}H=\{ v\in \mathbb{R}^4\; ; \;v=(a,b,-b,-a)\; ; \; a,b\in \mathbb{R} \}.

a. Halle HH^{\perp}.

b. Determine ProyHvProy_{H^{\perp}}^v siendo v=(2,0,1,1)v=(2,0,1,1).

Tema 4

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 4

Determine el valor de kRk\in \mathbb{R} para que la matriz AA sea diagonalizable.A=(k010k010k)A=\begin{pmatrix} k&0&1\\0&k&0\\1&0&k \end{pmatrix}

Tema 3

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 3

Para la transformación lineal T:P3P3T:\mathbb{P}_3 \rightarrow \mathbb{P}_3 definida comoT(p(x))=xp(x)T(p(x))=xp'(x) determine:

a. Una base para el núcleo y el recorrido de TT.

b. El rango y nulidad de TT.

c. ¿Es TT inversible? Justifique su respuesta.