Categoría: Segunda Evaluación

Sea $V=\mathbb{R}^3$ y sea $H$ el subespacio de $V$definido como $H=gen\left\{ \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ 1\\ -1 \end{array}\end{pmatrix} \right\} \quad y \quad x=\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ 3\\ 2 \end{array}\end{pmatrix}$usando el producto interno canónico o estándar, halle:

a. El complemento ortogonal de $H$.

b. Una base ortonormal de $H$.

c. La proyección ortogonal de $x$ sobre $H$.

Determine los valores propios y vectores propios de la matriz $A$ y además la matriz ortogonal que permite la diagonalización de la matriz $A$.$A=\begin{pmatrix}\begin{array} {rrrr} 1&-2&0&0 \\ -2&1&0&0 \\ 0&0&1&-2 \\ 0&0&-2&1 \end{array}\end{pmatrix}$

Construya de ser posible un operador lineal $T:\mathbb{R}^4\longrightarrow \mathbb{R}^4$, tal que el espacio propio asociado al valor propio $\lambda=0$ sea$W=\left\{ \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\end{pmatrix} \right\}$y además$T\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \quad ; \quad T\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\end{pmatrix}$

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. La matriz que se muestra es diagonalizable para todo $c\in \mathbb{R}$.$\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&2\\0&0&c\end{pmatrix}$

b. Si $B$ es una matriz de orden $n$ semejante a una matriz $A$ de orden $n$ y diagonalizable, entonces $B$ es diagonalizable.

c. Sea $V$ un espacio vectorial con producto interno. Sean $u$, $v$ y $w$ vectores de $V$. Si $\langle u,w \rangle=\langle v,w \rangle$, entonces $u=v$.
Nota: $\langle u,w \rangle$ denota el producto interno en $V$.

d. Sea $T:V \longrightarrow W$ una transformación lineal. Si $dim \; V=dim \; W=n$ y $T$ es sobreyectiva, entonces $T$ es inyectiva.