Categoría: Segunda Evaluación

Sea V=\mathbb{R}^3 y sea H el subespacio de Vdefinido como H=gen\left\{ \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ 1\\ -1 \end{array}\end{pmatrix} \right\} \quad y \quad x=\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ 3\\ 2 \end{array}\end{pmatrix}usando el producto interno canónico o estándar, halle:

a. El complemento ortogonal de H.

b. Una base ortonormal de H.

c. La proyección ortogonal de x sobre H.

Determine los valores propios y vectores propios de la matriz A y además la matriz ortogonal que permite la diagonalización de la matriz A.A=\begin{pmatrix}\begin{array} {rrrr} 1&-2&0&0 \\ -2&1&0&0 \\ 0&0&1&-2 \\ 0&0&-2&1 \end{array}\end{pmatrix}

Construya de ser posible un operador lineal T:\mathbb{R}^4\longrightarrow \mathbb{R}^4, tal que el espacio propio asociado al valor propio \lambda=0 seaW=\left\{ \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\end{pmatrix} \right\}y ademásT\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \quad ; \quad T\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\end{pmatrix}

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. La matriz que se muestra es diagonalizable para todo c\in \mathbb{R}.\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&2\\0&0&c\end{pmatrix}

b. Si B es una matriz de orden n semejante a una matriz A de orden n y diagonalizable, entonces B es diagonalizable.

c. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sean u, v y w vectores de V. Si \langle u,w \rangle=\langle v,w \rangle, entonces u=v.
Nota: \langle u,w \rangle denota el producto interno en V.

d. Sea T:V \longrightarrow W una transformación lineal. Si dim \; V=dim \; W=n y T es sobreyectiva, entonces T es inyectiva.