Término 2 |

Tema 4

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 4

Considere $\mathbb{P}_3$ , el espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual a $3$ , con el producto interno definido por: $\footnotesize{\langle a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \rangle=a_3b_3+2a_2b_2+4a_1b_1+a_0b_0}$ Considere además la transformación $T:\mathbb{P}_3 \longrightarrow \mathbb{P}_3$ definida por $T(p)=p(-1)+p(0)x^2$ .

a. Determine una base para la imagen de $T$ .

b. Determine una base para el complemento ortogonal del núcleo de la transformación lineal $T$ .

c. Encuentre la proyección ortogonal de $r(x)=3x^3+2x^2+x+1$ sobre el núcleo de $T$ .

Tema 3

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 3

Se sabe que $\lambda_1 = 2$ y $\lambda_2 = -3$ son los valores propios de una matriz $A$ de tamaño $3\times 3$ y entradas reales. Además, se tiene que los respectivos espacios propios son:
$E_{\lambda_1}=gen\{(1,0,-1)\} \qquad E_{\lambda_2}=gen\{(1,0,0),(0,2,3)\}$ Determine:

a. Si $A$ es diagonalizable.

b. La matriz $A$ .

Tema 2

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 2

Sean $B_1$ y $B_2$ bases de $\mathbb{R}^2$ tales que $M_{B_1 B_2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & -3 \end{pmatrix}$ es la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$ .

a. Si $[u]_{B_1}=\begin{pmatrix}-1\\4 \end{pmatrix}$ , calcular $[u]_{B_2}$ .

b. Si $[v]_{B_2}=\begin{pmatrix}3\\5 \end{pmatrix}$ , calcular $[v]_{B_1}$ .

c. Si $B_1=\{(1,3),(0,4)\}$ , obtener la base de $B_2$ .

Tema 1

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real de $a$ $\left\{\begin{aligned} -2x+y-z&=ax \\ -x-y&=ay \\ y-3z&=az \end{aligned}\right.$

b. Sean $V$ un espacio vectorial, sobre un campo $\mathbb{K}$ , con producto interno y $v_1,v_2\in V$ dos vectores no nulos. Si $v_1$ y $v_2$ son dos vectores ortogonales, entonces $[v_1,v_2]$ es un conjunto linealmente independiente de $V$ .

c. Si $A$ es una matriz $2\times 2$ y $p(\lambda)$ es su polinomio característico, entonces $p(\lambda)=\lambda^2-(Traza\;A)\lambda+det(A)$ .

d. Sean $V$ un espacio vectorial, con producto interno, $u$ , $v$ dos vectores cualesquiera en $V$ , si $\lVert u\rVert=\lVert v\rVert$ , entonces $u+v$ es ortogonal a $u-v$ .

e. Sean $H=\scriptsize{\left\{\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right):\ 2x+3y-z=0 \right\} }$ y $K=\scriptsize{\left\{\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right):\ x-2y+5z=0 \right\} }$ . Entonces $H\cup K$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ .

Tema 4

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 4

Dada la matriz $A=\small{\begin{pmatrix}2a-b & 0 & 2a-2b\\ 1 & a & 2 \\ b-a & 0 & -a+2b\end{pmatrix}}$ . Determine, de ser posible, los valores de $a$ y $b$ para que $A$ sea una matriz diagonalizable.

Tema 3

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 3

En el espacio de la matrices de entradas reales y orden $2$ , $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ , se define el producto interno $\langle A,B \rangle = Tr(B^T A)$ . Sea $H=\{A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})\;:\;Tr(A)=0\}$ .

a. Sean $A=\small{\begin{pmatrix}k-2 & 0\\ 1 & s+2\end{pmatrix}}$ y $B=\small{\begin{pmatrix}2 & 10\\ 0 & -2\end{pmatrix}}$ $\in H$ . Determine, de ser posible, los valores de $s$ y $k$ para que $A$ y $B$ sean matrices ortogonales.

b. Encuentre $H^{\perp}$ .

c. Encuentre la proyección de $B$ sobre $H^{\perp}$ , es decir, $Proy_{H^{\perp}}B$ .

Tema 2

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 2

Si $T:\mathbb{P}_2\longrightarrow \mathbb{R}^4$ es una transformación lineal del espacio de polinomios de grado menor o igual que $2$ en $\mathbb{R}^4$ , tal que $[T]_{B_1 B_2}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1\end{pmatrix}$ siendo $B_1=\left\{x^2 - x + 1,\;x+2,\;1 \right\}$ y $B_2=\scriptsize{\left\{ \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\right\}}.$
Determinar:

a. $T(x^2),\; T(x),\; T(1)$ .

b. $T(ax^2+bx+c),$ para $a,b,c \in \mathbb{R}$ .

Tema 1

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Si $A$ es una matriz de orden $n\times n$ con valor propio cero, entonces $A$ es una matriz singular (no invertible).

b. Sean $V$ un espacio vectorial con producto interno y $v_1, v_2\in V$ . Si $v_1$ y $v_2$ son dos vectores ortogonales, entonces $[v_1, v_2]$ es un conjunto linealmente independiente de $V$ .

c. Sea $T:V \longrightarrow W$ una transformación lineal. Si $dim\; V=dim\;W=n$ y $T$ es sobreyectiva, entonces $T$ es un isomorfismo.

d. Sea $V$ un espacio vectorial con producto interno y sean $A, B$ subconjuntos de $V$ tales que $0_v\in A\cap B$ , entonces ${(A+B)}^{\perp}=A^{\perp}\cap B^{\perp}$ .

Tema 6

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 6

Sean $B=\{v_1,v_2\}$ y $B^{'}=\{u_1,u_2\}$ dos bases de un espacio vectorial real $V$ , tales que $u_1=v_1 -2 v_2$ y $u_2=3v_1 + 4v_2$ . Hallar:

a. La matriz de cambio de base de $B$ a $B^{'}$ .

b. Las coordenadas del vector $5u_1-u_2$ en la base $B$ .

c. Las coordenadas del vector $7v_2$ en la base $B^{'}$ .

Tema 5

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 5

$V=\left\{\left(\begin{array}{rr} a & b \\ c & 0 \end{array}\right):\ a\in \mathbb{R}^+\ \wedge\ b,c \in \mathbb{R} \right\}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ , con las siguientes operaciones: $\begin{aligned}\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ c_1 & 0\end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & 0\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a_1a_2 & b_1+b_2+7 \\ c_1+c_2 & 0 \end{pmatrix} \\ \\ \alpha \odot \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a^{\alpha} & \alpha b+7\alpha-7 \\ \alpha c & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$ Determine:

a. El vector nulo de $V$ .

b. El vector opuesto de un elemento $\left(\begin{array}{rr}a & b \\ c & 0 \end{array}\right)$ de $V$ .

c. Los valores de $a$ y $x$ tal que $\left(\begin{array}{rr}a & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$ sea una combinación lineal de los vectores $\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\ x & 0 \end{array}\right)$ y $\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 3x & 0 \end{array}\right)$ .