2019-2020 | - Part 2

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 3

Sea $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual a $2$ , con entradas reales y las operaciones usuales. Sean $a$ un número real fijo, $B_1=\{1,x,x^2 \}$ la base canónica y $B_2=\{ 1,x+a,(x+a)^2 \}$ .

a)	Verifique que $B_2$ es una base para $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ .
b)	Determine la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$ .

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 2

Sea $V=M_2(\mathbb{R})$ el espacio vectorial real, de todas las matrices cuadradas de orden $2$ , con entradas reales y las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar para matrices. Sean $\small{H=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} : a-b-c-d=0 \end{Bmatrix}}$ y $\small{W=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0\\1&1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}}$ dos subespacios de $M_2(\mathbb{R})$ . Determine, de ser posible:

a)	Si $\begin{pmatrix} 0&0\\0&1 \end{pmatrix} \in H+W$ .
b)	Bases $B_{H\cap W}$ , $B_{H+W}$ y $B_V$ para los subespacios $H\cap W$ , $H+W$ y $V$ , respectivamente; de tal forma que $B_{H\cap W}\subseteq B_{B+W} \subseteq B_V$ .

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 1

A continuación encontrará cuatro afirmaciones. Indique, rellenando el círculo correspondientemente, cual de ellas es verdadera o falsa. En cada caso, justifique su respuesta bien sea presentando alguna demostración, contraejemplo o cálculo.

Dado el sistema de ecuaciones lineales

\scriptsize{\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 0&a-2&0 \\ 0&0&a-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ b+1 \\ 0 \end{pmatrix}}

. Si

a=2

entonces el sistema siempre tendrá infinitas soluciones.

\bigcirc

\bigcirc

(V,+,\cdot)

(W,\oplus,\bigodot)

son dos espacios vectoriales definidos sobre un mismo campo

\mathbb{K}

T:V\longrightarrow W

es una transformación lineal y

U

es un subespacio vectorial de

W

entonces

H=\{ v\in V : T(v)\in U \}

es un subespacio de

V

\bigcirc

\bigcirc

Sea

V

un espacio vectorial de dimensión finita y

B

una base de

V

. Entonces las coordenadas de un vector

v\in V

en un espacio vectorial respecto a la base

B

son únicas.

\bigcirc

\bigcirc

El espacio nulo de la matriz

\scriptsize{A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2&4&6 \\ 0&-2&2 \\ 3&3&12 \end{array} \end{pmatrix} }

\{ (-5t,t,t) : t\in \mathbb{R} \}

\bigcirc

\bigcirc

El vector

\scriptsize{A=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \end{pmatrix} }

pertenece al espacio columna de la matriz

\scriptsize{A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2&-4&0&0 \\ -1&2&0&0 \\ 0&0&1&2 \end{array} \end{pmatrix} }

\bigcirc

\bigcirc

Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 4

Considere la función $T:P_1(\mathbb{R})\longrightarrow \mathbb{R}^3$ definida por $T(ax+b)=(a+2b,a-b,b)$ , donde $P_1(\mathbb{R})$ denota el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual a $1$ , con las operaciones usuales.

a.	Verifique que $T$ es una transformación lineal.
b.	Considere las bases $B_{\mathbb{R}^3}=\{ (1,0,0),(1,1,0),(0,1,1) \}$ y $B_{P_1(\mathbb{R})}=\{ 1,x+1 \}$ de $P_1(\mathbb{R})$ y $\mathbb{R}^3$ respectivamente, construya la matriz asociada a la transformación lineal de la base $B_{P_1(\mathbb{R})}$ a la base $B_{\mathbb{R}^3}$ .

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 3

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $3$ , con entradas reales y cuyos subespacios propios son $E_{\lambda_1}=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \ :\ x+y=0\ ,\ z=0 \}$ y $E_{\lambda_2}=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \ :\ x-y-2z=0 \}$ . Determine:

a.	Una base para $E_{\lambda_1}$ .
b.	Una base para $E_{\lambda_2}$ .
c.	Si la matriz $A$ es diagonalizable.
d.	Si la matriz $A$ es diagonalizable ortogonalmente.
e.	El complemento ortogonal de $E_{\lambda_2}$ , considerando en $\mathbb{R}^3$ el producto interno canónico.

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 2

Dado el sistema de ecuaciones $\left \lbrace \begin{alignedat}{3} &x + &3&y+&&z = 2 \\ &x + &2&y-&5&z = 4 \\ 2&x + &5&y-&{a^2}&z = a+4 \end{alignedat}\right.$ determine de ser posible:

a.	El valor de $a$ tal que el sistema tenga solución única.
b.	El valor de $a$ tal que el sistema tenga infinitas soluciones.
c.	El valor de $a$ tal que el sistema no tenga solución.

Tema 5

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 5

Sea $T:V\longrightarrow U$ una transformación lineal entre los espacios vectoriales $V$ y $U$ . Suponga que $V$ es de dimensión finita y que $T$ no es inyectiva. Demuestre que $dim(V)$ es igual a la suma de las dimensiones de la imagen de $T$ y la dimensión de su núcleo. Esto es, $dim(V)=dim(Imagen(T))+dim(Ker(T))$ .

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 1

A continuación encontrará diez afirmaciones. Indique, rellenando el círculo adjunto, cuáles de ellas es son verdaderas. Cada respuesta incorrecta eliminará una respuesta correcta.

a.	Si $(V,+,\cdot)$ es un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$ y $v_1$ , $v_2$ y $v_3$ son vectores de $V$ , entonces el conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores $v_1$ , $v_2$ y $v_3$ forman un subespacio de $V$ .	$\bigcirc$
b.	Si $(V,+,\cdot)$ es un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$ . Se dice que el conjunto $B=\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ es una base de $V$ si $B$ es un conjunto linealmente independiente.	$\bigcirc$
c.	Sean $u_1$ y $u_2$ dos vectores propios de la matriz $A$ asociados al autovalor $\lambda$ , entonces $u_1$ y $u_2$ deben ser vectores ortogonales.	$\bigcirc$
d.	Si $T:V\longrightarrow W$ es una transformación lineal inyectiva, entonces $V$ y $W$ deben tener la misma dimensión.	$\bigcirc$
e.	Si $(V,+,\cdot)$ es un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$ y $W_1$ y $W_2$ son dos subespacios de $V$ de dimensión finita, entonces $\footnotesize{dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)}$ .	$\bigcirc$
f.	Sean $U$ y $V$ espacios vectoriales definidos sobre un mismo campo $\mathbb{K}$ . Si $B=\{ v_1,v_2,v_3 \}$ es una base de $V$ junto con $u_1$ y $u_2$ vectores en $U$ , entonces existe una unica transforamción lineal $T:V\longrightarrow U$ tal que $T(v_1)=u_1$ , $T(v_2)=u_2$ y $T(v_3)=\bold{0}_U$ .	$\bigcirc$
g.	Si $S$ es un conjunto ortogonal de vectores no nulos en un espacio vectorial $V$ , sobre el cual se ha definido un producto interno, entonces $S$ es un conjunto linealmente independiente en $V$ .	$\bigcirc$
h.	Si $T:V\longrightarrow W$ es una transformación lineal y $B=\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ es una base de $V$ , entonces $\{ T(v_1),T(v_2),...,T(v_n) \}$ es una base de la imagen de $T$ .	$\bigcirc$
i.	Si $A$ es una matriz cuadrada de entradas reales, entonces todos sus valores propios serán números reales distintos de cero.	$\bigcirc$
j.	Sea $A$ es una matriz cuadrada de orden cinco con $\lambda_1$ y $\lambda_2$ valores propios diferentes, entonces $A$ es diagonalizable si y solo si $dim(E_{\lambda_1})+dim(E_{\lambda_2})=5$ , donde $E_{\lambda_i}$ , denota el espacio propio asociado a $\lambda_i$ .	$\bigcirc$

Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 4

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1&a&-2\\0&b&0\\ -c&0&4 \end{array} \end{pmatrix}$ determine, de ser posible:

a.	Los valores de $a$ , $b$ y $c$ para que $A$ sea una matriz simétrica y $\lambda=5$ sea un valor propio asociado al vector propio $\begin{pmatrix} \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \end{pmatrix}$ de $A$ .
b.	Una base ortonormal de $\mathbb{R}^3$ conformada por vectores propios de $A$ .
c.	Las matrices $D$ y $P$ tales que $D=P^TAP$ .

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 3

Sea $V$ el espacio vectorial real de todas las matrices cuadradas de orden $2$ , con las operaciones usuales. Se define, en $V$ , el producto interno $\langle A|B \rangle=tr(B^T A)$ (esto es, la traza del producto entre la transpuesta de la matriz $B$ y la matriz $A$ ). Considerando el subespacio $H=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} \begin{array}{cc} a&b\\b&c \end{array}\end{pmatrix} : a+c=0 \, , \, \forall a,b,c\in \mathbb{R} \end{Bmatrix}$ de $V$ , determine:

a.	Una base ortonormal para $H$ .
b.	El complemento ortogonal de $H$
c.	La proyección del vector $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1&2\\2&-1 \end{array} \end{pmatrix}$ sobre $H$ .