Sea \mathcal{P}_2(\mathbb{R}) el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual a 2, con entradas reales y las operaciones usuales. Sean a un número real fijo, B_1=\{1,x,x^2 \} la base canónica y B_2=\{ 1,x+a,(x+a)^2 \}.
| a) | Verifique que B_2 es una base para \mathcal{P}_2(\mathbb{R}). |
| b) | Determine la matriz de cambio de base de B_1 a B_2. |
Sea V=M_2(\mathbb{R}) el espacio vectorial real, de todas las matrices cuadradas de orden 2, con entradas reales y las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar para matrices. Sean \small{H=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} : a-b-c-d=0 \end{Bmatrix}} y \small{W=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0\\1&1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}} dos subespacios de M_2(\mathbb{R}). Determine, de ser posible:
| a) | Si \begin{pmatrix} 0&0\\0&1 \end{pmatrix} \in H+W. |
| b) | Bases B_{H\cap W}, B_{H+W} y B_V para los subespacios H\cap W, H+W y V, respectivamente; de tal forma que B_{H\cap W}\subseteq B_{B+W} \subseteq B_V. |
A continuación encontrará cuatro afirmaciones. Indique, rellenando el círculo correspondientemente, cual de ellas es verdadera o falsa. En cada caso, justifique su respuesta bien sea presentando alguna demostración, contraejemplo o cálculo.
| a. | Dado el sistema de ecuaciones lineales \scriptsize{\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 0&a-2&0 \\ 0&0&a-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ b+1 \\ 0 \end{pmatrix}}. Si a=2 entonces el sistema siempre tendrá infinitas soluciones. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| b. | Si (V,+,\cdot) y (W,\oplus,\bigodot) son dos espacios vectoriales definidos sobre un mismo campo \mathbb{K}, T:V\longrightarrow W es una transformación lineal y U es un subespacio vectorial de W entonces H=\{ v\in V : T(v)\in U \} es un subespacio de V. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| c. | Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y B una base de V. Entonces las coordenadas de un vector v\in V en un espacio vectorial respecto a la base B son únicas. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| d. | El espacio nulo de la matriz \scriptsize{A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2&4&6 \\ 0&-2&2 \\ 3&3&12 \end{array} \end{pmatrix} } es \{ (-5t,t,t) : t\in \mathbb{R} \}. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| e. | El vector \scriptsize{A=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \end{pmatrix} } pertenece al espacio columna de la matriz \scriptsize{A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2&-4&0&0 \\ -1&2&0&0 \\ 0&0&1&2 \end{array} \end{pmatrix} }. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
Considere la función T:P_1(\mathbb{R})\longrightarrow \mathbb{R}^3 definida por T(ax+b)=(a+2b,a-b,b), donde P_1(\mathbb{R}) denota el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual a 1, con las operaciones usuales.
| a. | Verifique que T es una transformación lineal. |
| b. | Considere las bases B_{\mathbb{R}^3}=\{ (1,0,0),(1,1,0),(0,1,1) \} y B_{P_1(\mathbb{R})}=\{ 1,x+1 \} de P_1(\mathbb{R}) y \mathbb{R}^3 respectivamente, construya la matriz asociada a la transformación lineal de la base B_{P_1(\mathbb{R})} a la base B_{\mathbb{R}^3}. |
Sea A una matriz cuadrada de orden 3, con entradas reales y cuyos subespacios propios son E_{\lambda_1}=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \ :\ x+y=0\ ,\ z=0 \} y E_{\lambda_2}=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \ :\ x-y-2z=0 \}. Determine:
| a. | Una base para E_{\lambda_1}. |
| b. | Una base para E_{\lambda_2}. |
| c. | Si la matriz A es diagonalizable. |
| d. | Si la matriz A es diagonalizable ortogonalmente. |
| e. | El complemento ortogonal de E_{\lambda_2}, considerando en \mathbb{R}^3 el producto interno canónico. |
Dado el sistema de ecuaciones\left \lbrace \begin{alignedat}{3} &x + &3&y+&&z = 2 \\ &x + &2&y-&5&z = 4 \\ 2&x + &5&y-&{a^2}&z = a+4 \end{alignedat}\right.determine de ser posible:
| a. | El valor de a tal que el sistema tenga solución única. |
| b. | El valor de a tal que el sistema tenga infinitas soluciones. |
| c. | El valor de a tal que el sistema no tenga solución. |
Sea T:V\longrightarrow U una transformación lineal entre los espacios vectoriales V y U. Suponga que V es de dimensión finita y que T no es inyectiva. Demuestre que dim(V) es igual a la suma de las dimensiones de la imagen de T y la dimensión de su núcleo. Esto es, dim(V)=dim(Imagen(T))+dim(Ker(T)).
A continuación encontrará diez afirmaciones. Indique, rellenando el círculo adjunto, cuáles de ellas es son verdaderas. Cada respuesta incorrecta eliminará una respuesta correcta.
| a. | Si (V,+,\cdot) es un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} y v_1, v_2 y v_3 son vectores de V, entonces el conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores v_1, v_2 y v_3 forman un subespacio de V. | \bigcirc | |
| b. | Si (V,+,\cdot) es un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}. Se dice que el conjunto B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es una base de V si B es un conjunto linealmente independiente. | \bigcirc | |
| c. | Sean u_1 y u_2 dos vectores propios de la matriz A asociados al autovalor \lambda, entonces u_1 y u_2 deben ser vectores ortogonales. | \bigcirc | |
| d. | Si T:V\longrightarrow W es una transformación lineal inyectiva, entonces V y W deben tener la misma dimensión. | \bigcirc | |
| e. | Si (V,+,\cdot) es un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} y W_1 y W_2 son dos subespacios de V de dimensión finita, entonces \footnotesize{dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)}. | \bigcirc | |
| f. | Sean U y V espacios vectoriales definidos sobre un mismo campo \mathbb{K}. Si B=\{ v_1,v_2,v_3 \} es una base de V junto con u_1 y u_2 vectores en U, entonces existe una unica transforamción lineal T:V\longrightarrow U tal que T(v_1)=u_1, T(v_2)=u_2 y T(v_3)=\bold{0}_U. | \bigcirc | |
| g. | Si S es un conjunto ortogonal de vectores no nulos en un espacio vectorial V, sobre el cual se ha definido un producto interno, entonces S es un conjunto linealmente independiente en V. | \bigcirc | |
| h. | Si T:V\longrightarrow W es una transformación lineal y B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es una base de V, entonces \{ T(v_1),T(v_2),...,T(v_n) \} es una base de la imagen de T. | \bigcirc | |
| i. | Si A es una matriz cuadrada de entradas reales, entonces todos sus valores propios serán números reales distintos de cero. | \bigcirc | |
| j. | Sea A es una matriz cuadrada de orden cinco con \lambda_1 y \lambda_2 valores propios diferentes, entonces A es diagonalizable si y solo si dim(E_{\lambda_1})+dim(E_{\lambda_2})=5, donde E_{\lambda_i}, denota el espacio propio asociado a \lambda_i. | \bigcirc |
Dada la matriz A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1&a&-2\\0&b&0\\ -c&0&4 \end{array} \end{pmatrix} determine, de ser posible:
| a. | Los valores de a, b y c para que A sea una matriz simétrica y \lambda=5 sea un valor propio asociado al vector propio \begin{pmatrix} \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \end{pmatrix} de A. |
| b. | Una base ortonormal de \mathbb{R}^3 conformada por vectores propios de A. |
| c. | Las matrices D y P tales que D=P^TAP. |
Sea V el espacio vectorial real de todas las matrices cuadradas de orden 2, con las operaciones usuales. Se define, en V, el producto interno \langle A|B \rangle=tr(B^T A) (esto es, la traza del producto entre la transpuesta de la matriz B y la matriz A). Considerando el subespacio H=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} \begin{array}{cc} a&b\\b&c \end{array}\end{pmatrix} : a+c=0 \, , \, \forall a,b,c\in \mathbb{R} \end{Bmatrix}de V, determine:
| a. | Una base ortonormal para H. |
| b. | El complemento ortogonal de H |
| c. | La proyección del vector \begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1&2\\2&-1 \end{array} \end{pmatrix} sobre H. |
