Categoría: Resúmenes

cl2-01. Espacios Vectoriales

Definición. Un espacio vectorial VV, sobre un campo K\mathbb{K} cuyos elementos se denominan escalares, es un conjunto no vacío de objetos llamados vectores en el cual se definen dos operaciones binarias llamadas suma de vectores y multiplicación por escalar, las cuales satisfacen los siguientes axiomas:
1. ∀ v1,v2 ∈ V:v1⊕v2 ∈ V\forall\ v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}\ \mathrm{\in}\ V:v_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}v_{\mathrm{2}}\ \mathrm{\in}\ V
(Cerradura bajo la suma).
2. ∀ v1,v2 ∈ V:v1⊕v2=v2⊕v1\forall\ v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}\ \mathrm{\in}\ V:v_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}v_{\mathrm{2}}=v_{\mathrm{2}}\mathrm{\oplus}v_{\mathrm{1}}
(Ley conmutativa de la suma de vectores).
3. ∀ v1,v2,v3 ∈ V:\forall\ v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}}\ \mathrm{\in}\ V: v1⊕(v2⊕v3)=(v1⊕v2)⊕v3v_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}\left(v_{\mathrm{2}}\mathrm{\oplus}v_{\mathrm{3}}\right)\mathrm{=(}v_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}v_{\mathrm{2}}\mathrm{)}\mathrm{\oplus}v_{\mathrm{3}}
(Ley asociativa de suma de vectores).
4. ∃ n ∈ V ∀ v ∈ V:v⊕n=v\exists\ n\ \mathrm{\in}\ V\,\ \forall\ v\ \mathrm{\in}\ V:v\mathrm{\oplus}n=v
(El vector nn se llama neutro aditivo, vector cero o cero vector).
5. ∀ v ∈V ∃ v′ ∈ V:v⊕v′=n\forall\ v\ \mathrm{\in}V\,\ \exists\ v{'}\ \mathrm{\in}\ V:v\mathrm{\oplus}v{'}=n
(El vector v′v' se llama inverso aditivo de vv).
6. ∀ v ∈ V ∀ α ∈ K:α⊙v ∈ V\forall\ v\ \mathrm{\in}\ V\,\ \forall\ \alpha\ \mathrm{\in}\ \mathbb{K}:\alpha\odot v\ \mathrm{\in}\ V
(Cerradura bajo la multiplicación por un escalar).
7. ∀ v1,v2 ∈ V ∀ α ∈ K:\forall\ v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}\ \mathrm{\in}\ V\,\ \forall\ \alpha\ \mathrm{\in}\ \mathbb{K}: α⊙(v1⊕v2)=(α⊙v1)⊕(α⊙v2)\alpha\odot\left(v_{\mathrm{1}}\oplus v_{\mathrm{2}}\right)=\left(\alpha\odot v_{\mathrm{1}}\right)\mathrm{\oplus}\left(\alpha\odot v_{2}\right)
(Primera ley distributiva).
8. ∀ v∈V ∀ α,β ∈ K:\forall\ v\in V\,\ \forall\ \alpha,\beta\ \mathrm{\in}\ \mathbb{K}: (α+β)⊙v=(α⊙v)⊕(β⊙v)\left(\alpha+\beta\right)\odot v= \left(\alpha\odot v\right)\oplus\left(\beta\odot v\right) (Segunda ley distributiva).
9. ∀ v∈V ∀ α,β ∈ K:\forall\ v\in V\,\ \forall\ \alpha,\beta\ \mathrm{\in}\ \mathbb{K}: (αβ)⊙v=α⊙(β⊙v)\left(\alpha\beta\right)\odot v=\alpha\odot\left(\beta\odot v\right)
(Ley asociativa de la multiplicación por escalares).
10. ∀ v∈V 1∈K:1⊙v=v\forall\ v\in V\,\ 1\in\mathbb{K}: 1\odot v=v
(11 es el idéntico multiplicativo)

La nomenclatura que se generalmente se sigue es:

⊕\oplus Cuando se trata de suma de vectores.
++ Cuando se trata de suma de escalares.
⊙\odot Cuando se trata del producto de un vector por un escalar.
 ⋅\ \cdot  Cuando se trata del producto de escalares.

Para probar si un conjunto de vectores conforma o no un espacio vectorial, se debe verificar que satisfaga los 10 axiomas dados, en caso de que por lo menos uno de ellos no se cumpla, entonces ese conjunto de vectores no conforma un espacio vectorial.

La manera de cómo efectuar la suma de vectores y el producto de un vector por un escalar no necesariamente es la suma de vectores y el producto de un vector por un escalar convencionales, sino que queda definida por el planteamiento del problema.

Ejemplo. Determine si el conjunto V={v/v>0, v∈R}V=\left\{v/v>0,\ v\in\mathbb{R}\right\} constituye un espacio vectorial, con las siguientes operaciones:
v1⊕v2=v1v2,v1,v2∈Vα⊙v=vα,v∈V ∧ α∈R\begin{array}{rcll}v_{1}\oplus v_{2} & = & v_{1}v_{2}, & v_{1},v_{2}\in V \\ \alpha\odot v & = & v^{\alpha}, & v\in V\ \land\ \alpha\in\mathbb{R}\end{array}

Solución. A continuación se verifica el cumplimiento de los 10 axiomas:

1.∀v1,v2∈V:v1⊕v2∈V\mathbf{1.\quad \forall v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}\mathrm{\in}V:v_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}v_{\mathrm{2}}\mathrm{\in}V}

Sea v3=v1⊕v2v_{3}=v_{1}\oplus v_{2}, por definición v1⊕v2=v1v2v_{1}\oplus v_{2}=v_{1}v_{2}; para que este axioma se cumpla v3v_{3} debe pertenecer a VV, es decir, v3v_{3} debe ser un número mayor que 00. Considerando que v1>0v_{1}>0 y v2>0v_{2}>0 debido a que v1v_{1} y v2v_{2} pertenecen a VV se tiene que v3=v1⊕v2=v1v2v_{3}=v_{1}\oplus v_{2}=v_{1}v_{2} entonces v3=v1v2 ∧ v1v2>0⇒v3>0⇒v3∈Vv_{3}=v_{1}v_{2}\ \wedge\ v_{1}v_{2}>0\Rightarrow v_{3}>0\Rightarrow v_{3}\in V. Por consiguiente el axioma si se cumple.

2.∀v1,v2∈V:v1⊕v2=v2⊕v1\mathbf{2.\quad \forall v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}\mathrm{\in}V:v_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}v_{\mathrm{2}}\mathrm{=}v_{\mathrm{2}}\mathrm{\oplus}v_{\mathrm{1}}}

Sean v3=v1⊕v2v_{3}=v_{1}\oplus v_{2} y v4=v2⊕v1v_{4}=v_{2}\oplus v_{1}. Se debe verificar que v3=v4v_{3}=v_{4}.v3=v1⊕v2=v1v2v4=v2⊕v1=v2v1\begin{aligned}v_{3}=v_{1}\oplus v_{2}=v_{1}v_{2} \\ v_{4}=v_{2}\oplus v_{1}=v_{2}v_{1}\end{aligned} Como v1v_{1} y v2v_{2} son números reales entonces v1v2=v2v1v_{1}v_{2}=v_{2}v_{1} por tanto v3=v4v_{3}=v_{4}. Por consiguiente el axioma si se cumple.

3.∀v1,v2,v3∈V:v1⊕(v2⊕v3)=(v1⊕v2)⊕v3\mathbf{3.\quad \forall v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}}\mathrm{\in}V:v_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}\left(v_{\mathrm{2}}\mathrm{\oplus}v_{\mathrm{3}}\right)\mathrm{=(}v_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}v_{\mathrm{2}}\mathrm{)}\mathrm{\oplus}v_{\mathrm{3}}}

v1⊕(v2⊕v3)=v1⊕(v2v3)=v1v2v3(v1⊕v2)⊕v3=(v1v2)⊕v3=v1v2v3\begin{aligned}v_{1}\oplus\left(v_{2}\oplus v_{3}\right)=v_{1}\oplus\left(v_{2}v_{3}\right)=v_{1}v_{2}v_{3} \\ \left(v_{1}\oplus v_{2}\right)\oplus v_{3}=\left(v_{1}v_{2}\right)\oplus v_{3}=v_{1}v_{2}v_{3}\end{aligned}Por consiguiente el axioma si se cumple.

4.∃ n∈V ∀ v∈V:v⊕n=v\mathbf{4.\quad \exists\ n \mathrm{\in}V\,\ \forall\ v\mathrm{\in}V:v\mathrm{\oplus}n=v}

Este axioma describe que existe un vector nn (neutro aditivo) que pertenece a VV, tal que v⊕n=vv\oplus n=v. El vector nn es único en un espacio vectorial; en caso de que existan 2 o más vectores neutros, el conjunto no es un espacio vectorial.
n⊕v=vnv=vn=vvn=1\begin{array}{rcl} n\oplus v&=&v \\ nv&=&v \\ n&=&\tfrac{v}{v} \\ n&=&1 \end{array} El vector neutro nn es único y para el ejemplo, el neutro es el número 1; es importante señalar que el neutro aditivo no implica que el vector nn se relacione únicamente con el número cero (00). Por consiguiente el axioma si se cumple.

5.∀ v ∈V ∃ v′ ∈ V:v⊕v′=n\mathbf{5.\quad \forall\ v\ \mathrm{\in}V\,\ \exists\ v{'}\ \mathrm{\in}\ V:v\mathrm{\oplus}v{'}=n}

v⊕v′=nvv′=nv′=nvv′=1v\begin{array}{rcl} v\oplus v{'}&=&n \\ vv{'}&=&n \\ v{'}&=&\tfrac{n}{v} \\ v{'}&=&\tfrac{1}{v} \end{array} Siendo v>0⇒v′=1vv>0\Rightarrow v{'}=\tfrac{1}{v} siempre será mayor que cero. Por consiguiente el axioma si se cumple.

6.∀ v ∈ V ∀ α ∈ R:α⊙v ∈ V\mathbf{6.\quad \forall\ v\ \mathrm{\in}\ V\,\ \forall\ \alpha\ \mathrm{\in}\ \mathbb{R}:\alpha \odot v\ \mathrm{\in}\ V}

Por definición α⊙v=vα\alpha\odot v=v^{\alpha}; como v>0v>0, entonces vα>0v^{\alpha}>0. Por consiguiente el axioma si se cumple.

7.∀ v1,v2 ∈ V ∀ α ∈ R:α⊙(v1⊕v2)=(α⊙v1)⊕(α⊙v2)\mathbf{7.\quad \forall\ v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}\ \mathrm{\in}\ V\,\ \forall\ \alpha\ \mathrm{\in}\ \mathbb{R}:\alpha\odot\left(v_{\mathrm{1}}\oplus v_{\mathrm{2}}\right)=\left(\alpha\odot v_{\mathrm{1}}\right)\mathrm{\oplus}\left(\alpha\odot v_{2}\right)}

α⊙(v1⊕v2)=(α⊙v1)⊕(α⊙v2)α⊙(v1v2)=v1α⊕v2α(v1v2)α=v1αv2αv1αv2α=v1αv2α\begin{array}{rcl}\alpha\odot\left(v_{1}\oplus v_{2}\right)&=&\left(\alpha\odot v_{1}\right)\oplus\left(\alpha\odot v_{2}\right) \\ \alpha\odot\left(v_{1}v_{2}\right)&=&v_{1}^{\alpha}\oplus v_{2}^{\alpha} \\ \left(v_{1}v_{2}\right)^{\alpha}&=&v_{1}^{\alpha}v_{2}^{\alpha} \\ v_{1}^{\alpha}v_{2}^{\alpha} &=& v_{1}^{\alpha}v_{2}^{\alpha}\end{array} Por consiguiente el axioma si se cumple.

8.∀ v∈V ∀ α,β∈R:(α+β)⊙v=(α⊙v)⊕(β⊙v)\mathbf{8.\quad \forall\ v\in V\,\ \forall\ \alpha,\beta \mathrm{\in}\mathbb{R}:\left(\alpha+\beta\right)\odot v=\left(\alpha\odot v\right)\oplus\left(\beta\odot v\right)}

(α+β)⊙v=(α⊙v)⊕(β⊙v)v(α+β)=vα⊕vβv(α+β)=vαvβv(α+β)=v(α+β)\begin{array}{rcl}\left(\alpha+\beta\right)\odot v&=&\left(\alpha\odot v\right)\oplus\left(\beta\odot v\right) \\ v^{\left(\alpha+\beta\right)}&=&v^{\alpha}\oplus v^{\beta} \\ v^{\left(\alpha+\beta\right)}&=&v^{\alpha}v^{\beta}\\v^{\left(\alpha+\beta\right)}&=&v^{\left(\alpha+\beta\right)}\end{array} Por consiguiente el axioma si se cumple.

9.∀ v∈V ∀ α,β∈R:(αβ)⊙v=α⊙(β⊙v)\mathbf{9.\quad \forall\ v\in V\,\ \forall\ \alpha,\beta \mathrm{\in}\mathbb{R}:\left(\alpha\beta\right)\odot v=\alpha\odot\left(\beta\odot v\right)}

(αβ)⊙v=α⊙(β⊙v)vαβ=α⊙(vβ)vαβ=(vβ)αvαβ=vαβ\begin{array}{rcl}\left(\alpha\beta\right)\odot v&=&\alpha\odot\left(\beta\odot v\right) \\ v^{\alpha\beta}&=&\alpha\odot\left(v^{\beta}\right) \\ v^{\alpha\beta}&=&\left(v^{\beta}\right)^{\alpha} \\ v^{\alpha\beta}&=&v^{\alpha\beta}\end{array} Por consiguiente el axioma si se cumple.

10.∀ v∈V 1∈R:1⊙v=v\mathbf{10.\quad \forall\ v\in V\,\ 1\in\mathbb{R}: 1\odot v=v}

1⊙v=vv=v\begin{array}{rcl}1 \odot v&=&v \\ v&=&v \end{array} Por consiguiente el axioma si se cumple.

En conclusión, al cumplir con los 1010 axiomas entonces el conjunto VV, con las operaciones definidas de suma entre vectores (⊕\oplus) y multiplicación por escalar (⊙α\odot\alpha), representa un espacio vectorial.

Es posible que el mismo conjunto VV, con otras definiciones para ⊕\oplus y ⊙α\odot\alpha no constituya un espacio vectorial; así como, es posible que las mismas definiciones de ⊕\oplus y ⊙α\odot\alpha pero con un conjunto diferente tampoco constituya un espacio vectorial.

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Referencias Bibliográficas