Definición. Sean v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}} vectores en un espacio vectorial V, entonces cualquier vector de la forma:\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+...+\alpha_n v_ndonde \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n son escalares, se denomina una Combinación Lineal de v_1,v_2,v_3,...,v_n.
Esto es, un vector v se puede escribir como combinación lineal de v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}} si existen escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n tales quev=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+...+\alpha_n v_n
Ejemplo. En \mathbb{R^3} sean:v=\left(\begin{array}{r} 2 \\ 2\\ 3 \end{array}\right)\ v_1=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\ v_2=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0\\ 2 \end{array}\right)Determine si v es una combinación lineal de los vectores v_1 y v_2.
Solución. Para determinar si el vector v es una combinación lineal de los vectores v_1 y v_2 se debe determinar la existencia de valores para \alpha_1 y \alpha_2 tales que:\alpha_1\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)\oplus\alpha_2\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) A continuación, se plante el sistema de ecuaciones lineales correspondiente y se procede a resolver.\left\{ \begin{array}{rcl}2\alpha_1-3\alpha_2&=&2 \\ 2\alpha_1&=&2 \\ \alpha_1+2\alpha_2&=&3 \end{array}\right.Al resolver el sistema de ecuaciones lineales se obtiene como resultado que \alpha_1=1 y \alpha_2=1.
Por consiguiente, el vector v es una combinación lineal de los vectores v_1 y v_2; es decir, v=v_1\oplus v_2.
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