cl2-03. Combinación Lineal

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Definición. Sean $v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}}$ vectores en un espacio vectorial $V$, entonces cualquier vector de la forma:$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+...+\alpha_n v_n$donde $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n$ son escalares, se denomina una Combinación Lineal de $v_1,v_2,v_3,...,v_n$.

Esto es, un vector $v$ se puede escribir como combinación lineal de $v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}}$ si existen escalares $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n$ tales que$v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+...+\alpha_n v_n$

Ejemplo. En $\mathbb{R^3}$ sean:$v=\left(\begin{array}{r} 2 \\ 2\\ 3 \end{array}\right)\ v_1=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\ v_2=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0\\ 2 \end{array}\right)$Determine si $v$ es una combinación lineal de los vectores $v_1$ y $v_2$.

Solución. Para determinar si el vector $v$ es una combinación lineal de los vectores $v_1$ y $v_2$ se debe determinar la existencia de valores para $\alpha_1$ y $\alpha_2$ tales que:$\alpha_1\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)\oplus\alpha_2\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$ A continuación, se plante el sistema de ecuaciones lineales correspondiente y se procede a resolver.$\left\{ \begin{array}{rcl}2\alpha_1-3\alpha_2&=&2 \\ 2\alpha_1&=&2 \\ \alpha_1+2\alpha_2&=&3 \end{array}\right.$Al resolver el sistema de ecuaciones lineales se obtiene como resultado que $\alpha_1=1$ y $\alpha_2=1$.

Por consiguiente, el vector $v$ es una combinación lineal de los vectores $v_1$ y $v_2$; es decir, $v=v_1\oplus v_2$.

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Referencias Bibliográficas