Definición. Sea B=\left\{v_1,v_2,v_3,..., v_n\right\} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V y v un vector de V. Si se expresa v como combinación lineal de B, es decirv=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+...+\alpha_nv_n,entonces el vector u=\left( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n \right) representa las coordenadas del vector v en función de B donde el vector u es un vector coordenado.
Notación. El vector coordenado u que representa las coordenadas del vector v en función de B se denota por \left[v\right]_B=u.
Ejemplo. Sean V=\mathbb{R^2} y \scriptsize{B=\left\{\left(\begin{array}{r} 1\\-1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{r} 1\\1 \end{array}\right) \right\}}. Si el vector \scriptsize{v=\left(\begin{array}{r} 4\\-1 \end{array}\right)} y el vector \scriptsize{u=\left(\begin{array}{r} {5}/{2}\\ {3}/{2} \end{array}\right)} entonces denote las coordenadas del vector v respecto al conjunto B.
Solución. Sea u el vector que representa las coordenadas del vector v en función de B, tal que\begin{array}{rcc} \left[v\right]_B & = & u \\ \left[v\right]_B & = & \left(\begin{array}{r} {5}/{2}\\ {3}/{2} \end{array}\right) \end{array}Entonces, por definición, se expresa v como combinación lineal de B, es decir\begin{array}{ccl} v & = & \alpha_1v_1+\alpha_2v_2 \\ \left(\begin{array}{r} 4\\-1 \end{array}\right) & = & {5/2}\ v_1 + {3/2}\ v_2 \\ \left(\begin{array}{r} 4\\-1 \end{array}\right) & = & {5/2}\left(\begin{array}{r} 1\\-1 \end{array}\right)+{3/2}\left(\begin{array}{r} 1\\1 \end{array}\right) \end{array}
Teorema. Sea V un espacio vectorial con una base B=\left\{v_1,v_2,v_3,..., v_n\right\}. Entonces
1) \left[\delta v\right]_B=\delta \left[v\right]_B. 2) \left[v+w\right]_B=\left[v\right]_B+\left[w\right]_B.
Definición. Sea A una matriz de n\times n columnas, se denomina matriz de cambio de base o matriz de transición si las columnas representan los vectores coordenados de la base B_1 en función de la base B_2 o viceversa. De forma general se tienev_j=\alpha_{1j}v_1+\alpha_{2j}v_2+...+\alpha_{nj}v_nes decir,\left[v_j\right]_{B_2}=\left(\begin{array}{c} \alpha_{1j}\\\alpha_{2j}\\ \vdots \\\alpha_{nj} \end{array}\right)=u_jde dondeA=\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & ... & \alpha_{1n}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} & ... & \alpha_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\\alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \alpha_{n3} & ... & \alpha_{nn} \\ \uparrow&\uparrow&\uparrow& &\uparrow \\ \left[v_1\right]_{B_2} & \left[v_2\right]_{B_2}& \left[v_3\right]_{B_2} &...&\left[v_n\right]_{B_2} \end{pmatrix}
Notación. Sean B_1=\left\{v_1,v_2,...,v_n\right\} y B_2=\left\{u_1,u_2,...,u_n\right\} bases de un espacio vectorial V, entonces la matriz de cambio de base de B_1 a B_2 se denotaA_{B_1B_2}=A_{B_1 \longrightarrow B_2}=\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & ... & \alpha_{1n}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} & ... & \alpha_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\\alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \alpha_{n3} & ... & \alpha_{nn} \end{pmatrix}siendo\begin{array}{ccl} v_1&=&\alpha_{11}u_1+\alpha_{21}u_2+...+\alpha_{n1}u_n \\v_2&=&\alpha_{21}u_1+\alpha_{22}u_2+...+\alpha_{n2}u_n \\ \vdots &=& \vdots\\ v_n&=&\alpha_{n1}u_n+\alpha_{n2}u_n+...+\alpha_{nn}u_n\end{array}
Observación. Por ningún motivo se debe intercambiar el orden de los vectores de las bases; hacer esto originaría una nueva matriz de cambio de base. En otras palabras, si se cambia el orden en el que se escriben los vectores de la base, entonces también debe cambiarse el orden de las columnas en la matriz de cambio de base.
Teorema. Sean B_1 y B_2 bases para un espacio vectorial V. Sea A la matriz de cambio de base de B_1 a B_2. Entonces para todo v\in V\left[v\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\left[v\right]_{B_1}
Teorema. Sea A la matriz de cambio de base de B_1 a B_2. Entonces A^{-1} es la matriz de cambio de base de B_2 a B_1, es decirA_{B_1B_2}=A_{B_1 \longrightarrow B_2}=A^{-1}_{B_2 \longrightarrow B_1}=A^{-1}_{B_2B_1}
Ejemplo. Sean B_1=\left\{u_1,u_2\right\} y B_2=\left\{1+2x,2+x\right\} bases de \wp_1; y, sean A=\scriptsize{\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}} la matriz de cambio de base de B_1 a B_2. Determine:
a) La matriz A_{B_2B_1}. b) La base B_1.
Solución.
Literal a. Para determinar A_{B_2B_1} se deben expresar los vectores de la base B_2 como combinación lineal de los vectores de la base B_1; pero como se desconocen los vectores de la base B_1 entonces se puede determinar la matriz inversa de A_{B_1B_2} que si es conocida y por teorema se determina que A_{B_2B_1}=A^{-1}_{B_1B_2}.
Por consiguiente, A_{B_2B_1}=A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{2}{7} & \frac{1}{7}\\ -\frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}.
Literal b. Al conocer la base B_2 y la matriz de cambio de base de B_1 a B_2 por teorema se determina que \left[u_1\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\left[u_1\right]_{B_1} es decir\left[u_1\right]_{B_2}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}de dondeu_1=2(1+2x)+3(2+x)=8+7xDe la misma forma, por teorema se determina que \left[u_2\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\left[u_2\right]_{B_1} es decir\left[u_2\right]_{B_2}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}de dondeu_2=-1(1+2x)+2(2+x)=3Por consiguiente, la base B_1=\left\{8+7x,3\right\}.
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