Teorema. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión n y m, respectivamente. Sean {B}_{1} y {B}_{2} sus respectivas bases. Sea T{:}\ V\rightarrow W una transformación lineal; entonces existe una única matriz {A}_{T} de m\times n tal que: {{[T(v)]}_{B2}}={{A}_{T}}.{{[v]}_{B1}} La matriz {A}_{T} se denomina matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T, con respecto a las bases {B}_{1} y {B}_{2}. Se suele representar también como {{A}_{{{T}_{B1B2}}}} para indicar que tal matriz utiliza trabaja exclusivamente con coordenadas respecto a las bases {B}_{1} y {B}_{2} en los espacios de partida y de llegada.
Construcción de una matriz de transformación. Sean {B}_{1} y {B}_{2} dos bases respectivas de los espacios V y W, tales que {{B}_{1}}=\left\{ {{v}_{1}},{{v}_{2}},\cdots {{v}_{n}} \right\} y {{B}_{2}}=\left\{ {{w}_{1}},{{w}_{2}},\cdots {{w}_{n}} \right\}. Si T{:}\ V\rightarrow W es una transformación lineal, entonces el procedimiento para calcular la matriz {{A}_{{{T}_{B1B2}}}} es el siguiente: 1.- Calcular T({v}_{i}), para i=1,2,...n 2.- Determinar el vector de coordenadas de T({v}_{i}) respecto a la base B2, {{[T({v}_{i})]}_{B2}}. 3.- Construir la matriz {{A}_{{{T}_{B1B2}}}} eligiendo a {{[T({v}_{i})]}_{B2}} como la {i}-ésima columna de {A}_{T}. {{A}_{{{T}_{B1B2}}}} = \left[ \begin{array}{rrrr} \uparrow & \uparrow & {} & \uparrow \\ {{[T({{v}_{1}})]}_{B2}} & {{[T({{v}_{2}})]}_{B2}} & \cdots & {{[T({{v}_{n}})]}_{B2}} \\ \downarrow & \downarrow & {} & \downarrow \end{array} \right]
Utilización de la matriz de transformación. Si {{[v]}_{B1}} son las coordenadas de v \in V, entonces se puede calcular {{[T(v)]}_{B2}} mediante la expresión: {{[T(v)]}_{B2}}={{A}_{T}}.{{[v]}_{B1}}, \forall v\in V.
Ejemplo Sea B=\left\{ {{e}^{x}},{{e}^{-x}},x{{e}^{x}},{{x}^{2}}{{e}^{x}} \right\} una base de V=gen(B), T:V\to V una transformación lineal tal que T(f)=f'(x), determine {{A}_{{{T}_{B}}}}.
Solución
1.- Transformar cada vector de la base del espacio de partida, B:
T({{e}^{x}})={{e}^{x}}
T({{e}^{-x}})=-{{e}^{-x}}
T(x{{e}^{x}})={{e}^{x}}+x{{e}^{x}}
T({{x}^{2}}{{e}^{x}})=2x{{e}^{x}}+{{x}^{2}}{{e}^{x}}
2.- Determinar las coordenadas de tales transformadas, respecto a la base del espacio de llegada, en este caso la misma base B para el mismo espacio V:
{{\left[ T({{e}^{x}}) \right]}_{B}}={{\left[ {{e}^{x}} \right]}_{B}}=(1,0,0,0)
{{\left[ T({{e}^{-x}}) \right]}_{B}}={{\left[ -{{e}^{-x}} \right]}_{B}}=(0,-1,0,0)
{{\left[ T(x{{e}^{x}}) \right]}_{B}}={{\left[ {{e}^{x}}+x{{e}^{x}} \right]}_{B}}=(1,0,1,0)
{{\left[ T({{x}^{2}}{{e}^{x}}) \right]}_{B}}={{\left[ 2x{{e}^{x}}+{{x}^{2}}{{e}^{x}} \right]}_{B}}=(0,0,2,1)
3.- Construir la matriz con las coordenadas halladas:
{{A}_{{{T}_{B}}}}=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right].
Ejemplo
Utilice la matriz del ejemplo anterior para calcular T({Cosh}(x))
Solución
Aunque se puede calcular mediante la regla de correspondencia que T({Cosh}(x))=Senh(x), se requiere en el ejercicio utilizar la matriz de transformación. La matriz de transformación opera entre coordenadas, así se necesita hallar {{\left[ {Cosh}(x) \right]}_{B}}:
Dado que {Cosh}(x)=\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{2}, entonces vector de coordenadas es {{\left[ {Cosh}(x) \right]}_{B}}=(1/2,1/2,0,0)
Luego, se tiene que {{[T(v)]}_{B}}={{A}_{{{T}_{B}}}}{{[v]}_{B}}, es decir:
{{[T({Cosh}(x))]}_{B}}=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\left( \begin{array}{r} 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} 1/2 \\ -1/2 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)Lo que significa que:
T({Cosh}(x))=\frac{1}{2}{{e}^{x}}-\frac{1}{2}{{e}^{-x}}+0x{{e}^{x}}+0{{x}^{2}}{{e}^{x}}
Es decir:
T({Cosh}(x))=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2}=Senh(x)
