Producto interno complejo.
Definición. Sea \left\langle V,\oplus,\odot \right\rangle un espacio vectorial, sobre el campo de escalares complejo. Se define el producto interno complejo como una función denotada por \left\langle .,. \right\rangle:V\times V\to \mathsf{\mathbb{C}} si y solo si, se cumple que:
| 1. | \forall v\in V\left\langle v,v \right\rangle \ge 0 |
| 2. | \forall v\in V\left\langle v,v \right\rangle =0\Leftrightarrow v={{{\mathbf{0}}}_{v}} |
| 3. | \forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\in V\left\langle {{v}_{1}},{{v}_{2}} \right\rangle =\overline{\left\langle {{v}_{2}},{{v}_{1}} \right\rangle } |
| 4. | \forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\in V\text{ }\forall \alpha \in \mathsf{\mathbb{C}}\text{ }\left\langle \alpha \odot {{v}_{1}},\text{ }{{v}_{2}} \right\rangle =\alpha \left\langle {{v}_{1}},{{v}_{2}} \right\rangle |
| 5. | \forall {{v}_{1}},{{v}_{2}},{{v}_{3}}\in V\text{ }\left\langle {{v}_{1}}+{{v}_{2}},\text{ }{{v}_{3}} \right\rangle =\left\langle {{v}_{1}},{{v}_{3}} \right\rangle +\left\langle {{v}_{2}},{{v}_{3}} \right\rangle |
Algunas consecuencias inmediatas de la definición son las siguientes:
| 6. | \forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\in V\text{ }\forall \alpha \in \mathsf{\mathbb{C}}\text{ }\left\langle {{v}_{1}},\text{ }\alpha \odot {{v}_{2}} \right\rangle =\overline{\alpha }\left\langle {{v}_{1}},{{v}_{2}} \right\rangle |
| 7. | \forall {{v}_{1}},{{v}_{2}},{{v}_{3}}\in V\text{ }\left\langle {{v}_{1}},{{v}_{2}}+\text{ }{{v}_{3}} \right\rangle =\left\langle {{v}_{1}},{{v}_{2}} \right\rangle +\left\langle {{v}_{1}},{{v}_{3}} \right\rangle |
Donde \overline{\alpha} indica el complejo conjugado de {\alpha}.
Cuando el campo de escalares es el de los números reales la lista de estas propiedades se reduce debido a que la conjugación compleja se puede omitir en el caso de los números reales.
La principal consecuencia es que el producto interno real tiene una propiedad conmutativa que el producto interno complejo no tiene.
Producto interno real.
Definición. Sea \left\langle V,\oplus,\odot \right\rangle un espacio vectorial, sobre el campo de escalares reales. Se define el producto interno real como una función denotada por \left\langle .,. \right\rangle:V\times V\to \mathsf{\mathbb{R}} si y solo si, se cumple que:
| 1. | \forall v\in V\left\langle v,v \right\rangle \ge 0 |
| 2. | \forall v\in V\left\langle v,v \right\rangle =0\Leftrightarrow v={{{\mathbf{0}}}_{v}} |
| 3. | \forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\in V\left\langle {{v}_{1}},{{v}_{2}} \right\rangle ={\left\langle {{v}_{2}},{{v}_{1}} \right\rangle } |
| 4. | \forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\in V\text{ }\forall \alpha \in \mathsf{\mathbb{R}}\text{ } \left\langle \alpha \odot {{v}_{1}},\text{ }{{v}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{v}_{1}},\alpha \odot \text{ }{{v}_{2}} \right\rangle =\alpha \left\langle {{v}_{1}},{{v}_{2}} \right\rangle |
| 5. | \forall {{v}_{1}},{{v}_{2}},{{v}_{3}}\in V\text{ } \left\langle {{v}_{1}}+{{v}_{2}},\text{ }{{v}_{3}} \right\rangle =\left\langle {{v}_{1}},{{v}_{3}} \right\rangle +\left\langle {{v}_{2}},{{v}_{3}} \right\rangle |
Definición. Se denomina Espacio Euclidiano a todo Espacio Vectorial que tiene un Producto Interno.
Ejemplo. Sea V={{M}_{2\times 2}}. Determine si la función \left\langle \text{ },\text{ } \right\rangle :V\times V\to \mathsf{\mathbb{R}} tal que \left\langle A,B \right\rangle =\det (A)\det (B) es un producto interno (P.I.) en V.
Solución:
Se debe determinar si se cumplen las 5 propiedades del P.I. real:
i) \forall A\in {{M}_{2\times 2}}\text{ }\left\langle A,A \right\rangle \ge 0
Sea A\in {{M}_{2\times 2}}, luego:
\left\langle A,A \right\rangle =\det (A)\det (A)={{\left[ \det (A) \right]}^{2}}\ge 0
En consecuencia sí se cumple esta propiedad.
ii) \forall A\in {{M}_{2\times 2}}\text{ }\left\langle A,A \right\rangle =0\Leftrightarrow A={{\mathbf{0}}_{v}}
Sea A\in {{M}_{2\times 2}}, se demostrará la equivalencia demostrando las implicaciones en ambas direcciones por separado:
ii-a) A={{\mathbf{0}}_{v}}\to \left\langle A,A \right\rangle =0
Si A=\left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right), luego {det(A)}=0, por lo cual se cumple que
\left\langle A,A \right\rangle ={{[\det (A)]}^{2}}=0
ii-b) \,\left\langle A,A \right\rangle =0\to A={{\mathbf{0}}_{v}}
Si \left\langle A,A \right\rangle =0, luego {det(A)}=0, pero esto no implica que la matriz A sea necesariamente la matriz neutra.
Contraejemplo:
SeaA=\left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right), esta matriz no es la matriz nula, sin embargo su determinante es cero, lo que hace que \left\langle A,A \right\rangle =0.
La segunda propiedad no se cumple \therefore \left\langle \text{ },\text{ } \right\rangle no es un producto interno en el espacio dado.
Catálogo de Productos Internos Estándares
Aunque en un espacio vectorial euclidiano se pueden definir más de un producto interno, cuando no se especifica alguno se utiliza el denominado producto interno estándar en ese espacio.
| {{\mathsf{\mathbb{R}}}^{n}}: | En este espacio, el producto interno estándar es el conocido producto punto o producto escalar: \forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in {{\mathbb{R}}^{n}} \left\langle \left( \begin{array}{r} {{x}_{1}} \\ {{x}_{2}} \\ \vdots \\ {{x}_{n}} \end{array} \right),\left( \begin{array}{r} {{y}_{1}} \\ {{y}_{2}} \\ \vdots \\ {{y}_{n}} \end{array} \right) \right\rangle ={{x}_{1}}{{y}_{1}}+{{x}_{2}}{{y}_{2}}+\cdots {{x}_{n}}{{y}_{n}} =\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}. También puede expresarse como un producto matricial: \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle={{\mathbf{x}}^{T}}\mathbf{y}=\left[ \begin{array}{rrrr} {{x}_{1}} & {{x}_{2}} & \cdots & {{x}_{n}} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{r} {{y}_{1}} \\ {{y}_{2}} \\ \vdots \\ {{y}_{n}} \end{array} \right] |
| {{\mathsf{\mathbb{C}}}^{n}}: | En este espacio, el producto interno estándar es: \forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in {{\mathbb{C}}^{n}} \left\langle \left( \begin{array}{r} {{x}_{1}} \\ {{x}_{2}} \\ \vdots \\ {{x}_{n}} \end{array} \right),\left( \begin{array}{r} {{{\bar{y}}}_{1}} \\ {{{\bar{y}}}_{2}} \\ \vdots \\ {{{\bar{y}}}_{n}} \end{array} \right) \right\rangle ={{x}_{1}}{{\bar{y}}_{1}}+{{x}_{2}}{{\bar{y}}_{2}}+\cdots {{x}_{n}}{{\bar{y}}_{n}} =\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{{\bar{y}}}_{i}}}. O, como producto matricial: \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle ={{\mathbf{x}}^{T}}\mathbf{\bar{y}}=\left[ \begin{array}{rrrr} {{x}_{1}} & {{x}_{2}} & \cdots & {{x}_{n}} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{r} {{{\bar{y}}}_{1}} \\ {{{\bar{y}}}_{2}} \\ \vdots \\ {{{\bar{y}}}_{n}} \end{array}\right] Donde \overline{a} indica el complejo conjugado de {a}. |
| {{P}_{n}}: | En el espacio de los polinomios de grado menor o igual que n, el producto interno estándar es: \forall p,q\in {{P}_{n}}\left\langle p,q \right\rangle = \left\langle {{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{a}_{n}}{{x}^{n}},{{b}_{0}}+{{b}_{1}}x+{{b}_{2}}{{x}^{2}}+{{b}_{n}}{{x}^{n}} \right\rangle ={{a}_{0}}{{b}_{0}}+{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+\cdots {{a}_{n}}{{b}_{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}{{{a}_{i}}{{b}_{i}}} |
| {{M}_{mn}}: | En el espacio de las matrices {{M}_{m\times n}}, el producto interno estándar es: \forall A,B\in {{M}_{m\times n}}\left\langle A,B \right\rangle = \left\langle \left( \begin{array}{rrrr} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {...} & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {...} & {{a}_{2n}} \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{a}_{m1}} & {{a}_{m2}} & {...} & {{a}_{mn}} \end{array} \right),\left( \begin{array}{rrrr} {{b}_{11}} & {{b}_{12}} & {...} & {{b}_{1n}} \\ {{b}_{21}} & {{b}_{22}} & {...} & {{b}_{2n}} \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{b}_{m1}} & {{b}_{m2}} & {...} & {{b}_{mn}} \end{array} \right) \right\rangle ={{a}_{11}}{{b}_{11}}+{{a}_{12}}{{b}_{12}}+\cdots+{{a}_{ij}}{{b}_{ij}}+\cdots {{a}_{mn}}{{b}_{mn}} =\sum\limits_{i=1}^{m}{\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{ij}}{{b}_{ij}}}} |
| C_{[a,b]}^{k}: | En el espacio de las funciones clase C_{[a,b]}^{k}, el producto interno es: \forall f,g\in C_{[a,b]}^{k}: \left\langle f,g \right\rangle =\int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} |
Enlaces de interés
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