Norma de un vector
Definición. Sea \left\langle V,\oplus ,\odot \right\rangle un espacio vectorial euclidiano, y sea v\in V; se define la norma del vector v, denotada por \left\| v \right\|, como: \left\| v \right\|=\sqrt{\left\langle v,v \right\rangle }. Es decir, la norma al cuadrado de un vector es el producto interno del vector consigo mismo: {{\left\| v \right\|}^{2}}=\left\langle v,v \right\rangleUn espacio que tiene una norma definida se denomina Espacio Normado.
Propiedades de la norma de un vector.
Sea \left\langle V,\oplus ,\odot \right\rangle un espacio vectorial euclidiano, se cumple que:
i) \forall v\in V\text{ }\left\| v \right\|\ge 0 ii) \forall v\in V\text{ }\left\| v \right\|=0\Leftrightarrow v={{\mathbf{0}}_{v}} iii) \forall k\in \mathsf{\mathbb{R}}\text{ }\forall v\in V\text{ }\left\| k\odot v \right\|=\left| k \right|.\text{ }\left\| v \right\| iv) \forall u,v\in V\text{ }\left\| u\oplus v \right\|\le \left\| u \right\|+\left\| v \right\| v) \forall u,v\in V\text{ }\left\| u-v \right\|=\left\| v-u \right\|
Ejemplo.
Sea V=C_{[0,1]}^{k} y sea f\in V tal que f(x)={{e}^{x}}, calcular la norma \left\| f \right\|.
Solución:
Por definición, {{\left\| f \right\|}^{2}}=\left\langle {{e}^{x}},{{e}^{x}} \right\rangle .
Utilizando el producto interno estándar en el espacio dado:{{\left\| f \right\|}^{2}}=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}{{e}^{x}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{2x}}dx}=\left. \frac{{{e}^{2x}}}{2} \right|_{0}^{1}=\frac{{{e}^{2}}-1}{2} Obteniendo la raiz cuadrada: \left\| f \right\|=\sqrt{\frac{{{e}^{2}}-1}{2}}
Distancia entre dos vectores
Definición. Sea \left\langle V,\oplus ,\odot \right\rangle un espacio vectorial euclidiano, y sea la función d:V\times V\to \mathsf{\mathbb{R}}; d es una función distancia si y solo si se cumplen las siguientes propiedades:
i) \forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\in V\text{ }d({{v}_{1}},{{v}_{2}})\ge 0 ii) \forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\in V\text{ }d({{v}_{1}},{{v}_{2}})=0\Leftrightarrow {{v}_{1}}={{v}_{2}} iii) \forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\in V\text{ }d({{v}_{1}},{{v}_{2}})=d({{v}_{2}},{{v}_{1}}) iv) \forall {{v}_{1}},{{v}_{2}},{{v}_{3}}\in V\text{ }d({{v}_{1}},{{v}_{3}})\le d({{v}_{1}},{{v}_{2}})+d({{v}_{2}},{{v}_{3}}) La expresión d({{v}_{1}},{{v}_{2}}) se lee como "la distancia entre {{v}_{1}} y {{v}_{2}}". Un espacio que tiene una métrica o función distancia definida se denomina Espacio Métrico. Aunque las funciones distancia pueden existir otros tipos de estructuras algebraicas, en el caso de un espacio vectorial euclidiano V, la métrica es inducida por el producto interno por via de la definición de norma:
\forall v\in V\text{ }d({{v}_{1}},{{v}_{2}})=\left\| {{v}_{1}}-{{v}_{2}} \right\|, donde \left\| v \right\|=\sqrt{\left\langle v,v \right\rangle }, y \left\langle v,v \right\rangle es el P.I. definido en V.
Ejemplo.
Sea V={{M}_{2\times 2}} y sean las matrices A=\left( \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ -1 & 5 \end{array} \right) y B=\left( \begin{array}{rr} -2 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} \right), calcular la distancia entre las matrices A y B. Utilice el siguiente producto interno en {{M}_{2\times 2}}:
\forall A,B\in {{M}_{2\times 2}}
\left\langle A,B \right\rangle ={{a}_{11}}{{b}_{11}}+4{{a}_{12}}{{b}_{12}}+2{{a}_{21}}{{b}_{21}}+{{a}_{22}}{{b}_{22}}
Solución:
Según la definición de distancia en un espacio vectorial euclidiano:
d(A,B)=\left\| A-B \right\|
Donde A-B=\left( \begin{array}{rr} 4 & 1 \\ -5 & 3 \end{array}\right)
pero \left\| A-B \right\|=\sqrt{\left\langle A-B,A-B \right\rangle }
=\left\langle \left( \begin{array}{rr} 4 & 1 \\ -5 & 3 \end{array} \right),\left( \begin{array}{rr} 4 & 1 \\ -5 & 3 \end{array} \right) \right\rangle
={{[4]}^{2}}+4.{{[1]}^{2}}+2{{[-5]}^{2}}+{{[3]}^{2}}=79
Entonces:
d(A,B)=\left\| A-B \right\|=\sqrt{79}
Ángulo entre dos vectores
Definición. Sea \left\langle V,\oplus ,\odot \right\rangle un espacio vectorial euclidiano, y sean u,v\in V dos vectores no nulos; se define el ángulo entre los vectores u y v, a la cantidad \theta \in [0,\pi ], tal que:{Cos}(\theta )=\frac{\left\langle u,v \right\rangle }{\left\| u \right\|.\left\| v \right\|}. Es decir: \theta ={arccos}(\frac{\left\langle u,v \right\rangle }{\left\| u \right\|.\left\| v \right\|})
Ejemplo.
Sea V={{P}_{2}} y sean los polinomios p,q,r\in {{P}_{2}}, tales que: p(x)=2{{x}^{2}}+x+1, q(x)={{x}^{2}}-2x+3 y r(x)=k{{x}^{2}}+kx-2. a) Calcular el ángulo entre los vectores p y q. b) De ser posible, hallar el valor de k\in {R} para que los polinomios p y r sean ortogonales (perpendiculares).
Solución:
a) Según la definición: {Cos}(\theta )=\frac{\left\langle p,q \right\rangle }{\left\| p \right\|.\left\| q \right\|} Utilizando el P.I. estándar en {{P}_{2}}:
\left\langle p,q \right\rangle =2-2+3=3
\left\| p \right\|=\sqrt{\left\langle p,p \right\rangle }=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{6}, y
\left\| q \right\|=\sqrt{\left\langle q,q \right\rangle }=\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{14}
{Cos}(\theta )=\frac{\left\langle p,q \right\rangle }{\left\| p \right\|.\left\| q \right\|}=\frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}, o:
\theta =\arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} \right)\approx 70.89{}^\circ
b) Ortogonalidad o perpendicularidad implica que el ángulo entre los vectores debe ser 90° (o \pi /2 radianes), cuyo coseno es cero:
{Cos}(\theta )=\frac{\left\langle p,r \right\rangle }{\left\| p \right\|.\left\| r \right\|}=\frac{3k-2}{\sqrt{6}\sqrt{2{{k}^{2}}+4}}=0
Es decir, 3k-2=0 o k=\frac{2}{3}.
Enlaces de interés
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