cl5-01. Valores y vectores característicos

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Definición. Sea $(V,\oplus ,\odot )$ un espacio vectorial no trivial. Sea $T:V\to V$; sea $v \in V$. Se dice que $v$ es un vector característico de $T$ si y solo si:
i)  $v\ne {{\mathbf{0}}_{V}}$
ii) $T(v)=\lambda \odot v$
Donde se denomina a $\lambda$ como el valor propio de la transformación.

Son sinónimos: vector propio, vector característico, eigenvector o autovector. Así también las siguientes expresiones son equivalentes: valor propio, valor característico, eigenvalor o autovalor.

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Ejemplo. Sea $V=C_{[a,b]}^{k}$, y sea el operador lineal $T:V\to V$, tal que $T[f(x)] = f'(x)$. Halle ejemplos de valores y vectores propios de T

Solución:

Se conoce que una función que es igual a su derivada es $f(x)={{e}^{x}}$, cuya transformada se ajusta a la deficinión $T(v)=\lambda \odot v$, con $\lambda =1$.

Se puede verificar que $T[{{e}^{2x}}]=2{{e}^{2x}}$, por lo cual ${e}^{2x}$ es un eigenvector, cuyo eigenvalor es $\lambda =2$.

En modo general, $f(x)={{e}^{ax}}$ es un vector propio de la transformación dada, con $\lambda =a$, pues $T[{{e}^{ax}}]=a{{e}^{ax}}$.

Otro ejemplo serían ciertas funciones constantes. Por ejemplo $f(x)=5$, cuya transformada es un múltiplo del vector: $T[5]=0$.

Nótese que el valor propio sí puede ser cero, pero el vector propio no puede ser el neutro. En modo general, funciones constantes $f(x)=k\ne 0$, son vectores propios con $\lambda =0$, pues $T[k]=\lambda k=0$.

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Método general para hallar vectores y valores propios de un operador lineal T

Para hallar los valores y vectores característicos de una transformación se hace uso de su representación matricial. En este caso, si ${{A}_{T}}$ es la matriz que representa a $T$ respecto a una base $B$, se busca que:

${{A}_{T}}{{[v]}_{B}}=\lambda {{[v]}_{B}}$.

A condición que $v\ne {{\mathbf{0}}_{V}}$. Por facilidad de escritura, se expresa la ecuación como ${{A}_{T}}\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$. Pasando todos los términos al lado izquierdo:

$\mathbf{Av}-\lambda \mathbf{v}=\mathbf{0}$

Para poder factorizar el factor común $\mathbf{v}$, es necesario multiplicar la matriz Identidad para aplicar las propiedades de la multiplicación matricial:

$\mathbf{Av}-\lambda \mathbf{Iv}=\mathbf{0}$

Luego se factoriza, resultando el siguiente sistema homogéneo:

$(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0}$

Este sistema siempre tiene por lo menos la solución trivial, pero dado que la definición requiere que el vector v sea distinto del vector neutro, un modo de garantizar esto es lograr que el determinante de la matriz de coeficientes del sistema sea cero:

$\det (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0$

La solución a esta última ecuación son los valores característicos $\lambda$, de la matriz de transformación, que son iguales a los valores característicos de la transformación. Existen hasta n valores propios, ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}}...{{\lambda }_{n}}$, entre soluciones reales distintas, reales repetidas y complejas conjugadas, de la última ecuación.

Una vez hallados los valores propios que garantizan que el sistema homogéneo tenga (infinitas) soluciones no triviales, se los reemplaza en el sistema para obtener el espacio solución, que equivale a hallar el núcleo $Nu(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})$. En el núcleo, todos los vectores excepto el neutro son característicos, pero para simplificar la respuesta, se eligen como vectores característicos de la matriz a los vectores del conjunto base de $Nu(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})$.

Finalmente, se debe recordar que los vectores propios de la matriz son en realidad las coordenadas, con respecto a la base B, de los vectores propios de la transformación, $\mathbf{v}={{[v]}_{B}}$, con lo cual se puede obtener los vectores no nulos de $V$ que cumplen con $T(v)=\lambda \odot v$.

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Referencias Bibliográficas