s1Eva2016TII_T1 LTI CT Sistema en paralelo-serie

Ejercicio: 1Eva2016TII_T1 LTI CT Sistema en paralelo-serie

a. respuestas impulso de los subsistemas SS1, SS2 y SS3

realizadas a partir de las respuestas de paso, x(t) = μ(t), entrada escalón unitario:

s_1(t) = r(t+1) - r(t-1)

s_2(t) = s_3(t) = r(t-1) - r(t-2)

h_1 (t) = \frac{\delta}{\delta t} s_1(t)

h_1 (t) = \frac{\delta}{\delta t} [ r(t+1) - r(t-1)]

= \frac{\delta}{\delta t}[(t+1)\mu (t+1) - (t-1)\mu (t-1)]

= (1) \mu (t+1) +(t+1) \delta(t+1) -[ (1)\mu (t-1) + (t-1)\delta(t-1)]

= \mu (t+1) +0 -[ (1)\mu (t-1) + 0]

= \mu (t+1) - \mu (t-1)

h_2 (t) = \frac{\delta}{\delta t} s_2(t)

h_2 (t) = \frac{\delta}{\delta t} [(t-1) \mu (t-1) - (t-2) \mu (t-2)

siguiendo el desarrollo para h₁(t)

h_2 (t) = \mu (t-1) - \mu (t-2)

por lo que también:

h_3 (t) = h_2 (t) =\mu (t-1) - \mu (t-2)

respuesta con el algoritmo:

 literal a: Respuestas de paso
s1:  -(t - 1)*Heaviside(t - 1) + (t + 1)*Heaviside(t + 1)
s2:  -(t - 2)*Heaviside(t - 2) + (t - 1)*Heaviside(t - 1)
s3:  -(t - 2)*Heaviside(t - 2) + (t - 1)*Heaviside(t - 1)
 literal a: Respuestas impulso
h1:  -(t - 1)*DiracDelta(t - 1) + (t + 1)*DiracDelta(t + 1)
     - Heaviside(t - 1) + Heaviside(t + 1)
h2:  -(t - 2)*DiracDelta(t - 2) + (t - 1)*DiracDelta(t - 1)
     - Heaviside(t - 2) + Heaviside(t - 1)
h3:  -(t - 2)*DiracDelta(t - 2) + (t - 1)*DiracDelta(t - 1)
     - Heaviside(t - 2) + Heaviside(t - 1)

Instrucciones en Python

# 1Eva2016TII_T1 Sistema LTIC en paralelo-serie
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sym
equivalentes = [{'DiracDelta': lambda x: 1*(x==0)},
                {'Heaviside': lambda x,y: np.heaviside(x, 1)},
                'numpy',]
# INGRESO
t = sym.Symbol('t', real=True)
u = sym.Heaviside(t) 
r = t*u

# literal a, repuesta de paso
s1 = r.subs(t,t+1) - r.subs(t,t-1)
s2 = r.subs(t,t-1) - r.subs(t,t-2)
s3 = r.subs(t,t-1) - r.subs(t,t-2)

t_a = -2 ; t_b = 3

# PROCEDIMIENTO
muestras = (t_b-t_a)*(20+1)
ti = np.linspace(t_a,t_b,muestras)
s1n = sym.lambdify(t,s1, modules=equivalentes)
s2n = sym.lambdify(t,s2, modules=equivalentes)
s1i = s1n(ti)
s2i = s2n(ti)

# literal a, respuesta impulso
h1 = sym.diff(s1,t,1)
h2 = sym.diff(s2,t,1)
h3 = sym.diff(s3,t,1)

h1n = sym.lambdify(t,h1, modules=equivalentes)
h2n = sym.lambdify(t,h2, modules=equivalentes)
h3n = sym.lambdify(t,h3, modules=equivalentes)
h1i = h1n(ti)
h2i = h2n(ti)
h3i = h3n(ti)

# SALIDA
print(' literal a: Respuestas de paso')
print('s1: ',s1)
print('s2: ',s2)
print('s3: ',s3)
print(' literal a: Respuestas impulso')
print('h1: ',h1)
print('h2: ',h2)
print('h3: ',h3)

# Gráfica
plt.subplot(211)
plt.plot(ti,s1i,label ='s1(t)')
plt.plot(ti,s2i,label ='s2(t), s3(t)')
plt.axvline(0, linestyle='dashed',color='grey')
plt.legend()
plt.grid()

plt.subplot(212)
plt.plot(ti,h1i,label ='h1(t)')
plt.plot(ti,h2i,label ='h2(t), h3(t)')
plt.axvline(0, linestyle='dashed',color='grey')
plt.ylabel('Respuesta impulso')
plt.xlabel('t')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

b. respuestas impulso h₁₂(t) y respuesta de paso (escalón unitario) s₁₂(t)

los sistemas SS1 y SS2 se encuentran con un operador suma en paralelo ,restando SS2, por lo que las respuestas al impulso son:

h_{12} (t) = h_1 (t) - h_2 (t)

= [\mu (t+1) - \mu (t-1)] - [\mu (t-1) - \mu (t-2)]

= \mu (t+1) - 2 \mu (t-1) + \mu (t-2)

la «respuesta de paso» se encuentran como:

s_{12} (t) = \int_{-\infty}^{\infty} h_{12}(t) \delta t = h_{12} (t) \circledast \mu (t)

s_{12} (t) = [\mu (t+1) - 2 \mu (t-1) - \mu (t-2)] \circledast \mu (t)

Usando la tabla de integrales de convolución, fila 3:

s_{12} (t) = r(t+1) -2 r(t-1) + r(t-2)

c. respuesta impulso del sistema global h₁₂₃(t)

A partir de h₁₂(t) y h₃(t), que se encuentran en serie (cascada), se tiene que:

h_{123} (t) = h_{12} (t) \circledast h_3 (t)

\frac{\delta}{\delta t}h_{123} (t) = \frac{\delta}{\delta t}[h_{12} (t) \circledast h_3 (t)]

= \frac{\delta}{\delta t}h_{12} (t) \circledast h_3 (t) = h_{12} (t) \circledast \frac{\delta}{\delta t}h_3 (t)

usando la primera expresión equivalente de la convolución:

\frac{\delta}{\delta t}h_{12} (t) = \frac{\delta}{\delta t}[\mu (t+1) - 2 \mu (t-1) + \mu (t-2)]

= \delta (t+1) - 2 \delta (t-1) + \delta (t-2)

por lo que

\frac{\delta}{\delta t}h_{123} (t) = [\delta (t+1) - 2 \delta (t-1) + \delta (t-2)] \circledast h_3 (t)

= \delta (t+1) \circledast h_3 (t) - 2 \delta (t-1) \circledast h_3 (t) + \delta (t-2) \circledast h_3 (t)

Usando la tabla de integrales de convolución, fila 1:

= h_3 (t+1) - 2 h_3 (t-1) + h_3 (t-2)

y sustituyendo las expresiones con los deplazamientos en t,

= [\mu ((t+1)-1) - \mu ((t+1)-2)]

-2[\mu ((t-1)-1) - \mu ((t-1)-2)]

+ [\mu ((t-2)-1) - \mu ((t-2)-2)]

realizado las operaciones en los paréntesis,

= \mu (t) - \mu (t-1)

- 2\mu (t-2) + 2\mu (t-3)

+ \mu (t-3) - \mu (t-4)

uniendo términos iguales, se simplifica,

\frac{\delta}{\delta t} h_{123} (t) = \mu (t) - \mu (t-1)- 2\mu (t-2) + 3\mu (t-3) - \mu (t-4)

ahora se puede calcular h₁₂₃(t) como

h_{123} (t) =\frac{\delta}{\delta t} h_{123} (t) \circledast \mu (t)

= [\mu (t) - \mu (t-1)- 2\mu (t-2) + 3\mu (t-3) - \mu (t-4)] \circledast \mu (t)

= \mu (t)\circledast \mu (t) - \mu (t-1)\circledast \mu (t) -2\mu (t-2)\circledast \mu (t)+

+ 3\mu (t-3)\circledast \mu (t) - \mu (t-4) \circledast \mu (t)

Usando la tabla de integral de convolución, fila 3:

h_{123} (t) = r(t) - r(t-1) -2 r(t-2)+ 3 r(t-3) - r(t-4)

también se puede escribir en función de μ(t)

h_{123} (t) = t \mu(t) - (t-1) \mu (t-1) -2 (t-2) \mu(t-2)+

+3 (t-3) \mu(t-3) - (t-4)\mu(t-4)

Con lo que se que se obtiene la gráfica de las funciones requeridas en el literal b.

el resultado del algoritmo es:

literal b. h123(t)
h12:  (t - 2)*DiracDelta(t - 2) - 2*(t - 1)*DiracDelta(t - 1)
    + (t + 1)*DiracDelta(t + 1) + Heaviside(t - 2)
    - 2*Heaviside(t - 1) + Heaviside(t + 1)
h123:  t*Heaviside(t) - (t - 4)*Heaviside(t - 4) 
     + 3*(t - 3)*Heaviside(t - 3) -2*(t - 2)*Heaviside(t - 2)
     - (t - 1)*Heaviside(t - 1)

las instrucciones adicionales en Python son:

t_a = -2 ; t_b = 5
# PROCEDIMIENTO
muestras = (t_b-t_a)*(20+1)
ti = np.linspace(t_a,t_b,muestras)

# b. respuesta impulso y paso del sistema 12 en paralelo
h12  = h1 - h2
h12n = sym.lambdify(t,h12, modules=equivalentes)
h12i = h12n(ti)

# respuesta impulso global sistema 123
h123  = r-r.subs(t,t-1)-2*r.subs(t,t-2)
h123  = h123 + 3*r.subs(t,t-3)-r.subs(t,t-4)
h123n = sym.lambdify(t,h123, modules=equivalentes)
h123i = h123n(ti)

# SALIDA
print('\nliteral b. h123(t)')
print('h12: ', h12)
print('h123: ',h123)

# Grafica
plt.plot(ti,h12i,label ='h12(t)')
plt.axvline(0, linestyle='dashed'
            ,color='grey')
plt.plot(ti,h123i,label ='h123(t)')
plt.ylabel('Respuesta impulso')
plt.xlabel('t')
plt.legend()
plt.grid()

plt.show()

litera b. Tabla de respuestas

Subsistema LTIC SS1

h₁(t) no tiene la forma kδ(T), por lo que SSI es con memoria.
h₁(t) ≠ 0, t<0, el sistema no es causal.
La respuesta al impulso es absolutamente integrable, por lo que es BIBO estable

Subsistema LTIC SS2 y SS3

h₂(t) y h₂(t) no tienen la forma kδ(T), por lo que SS2 y SS3 tienen memoria.
h₂(t) = h₃(t) = 0, t<0, los sistemas SS2 y SS3 son causales.
La respuesta al impulso es absolutamente integrable, por lo que SS2 y SS3 son BIBO estables

Subsistema LTIC en paralelo SS1-SS2

h₁₂(t) no tiene la forma kδ(T), por lo que SS1-SS2 en paralelo es con memoria.
h₁₂(t) ≠ 0 t<0, el sistema en paralelo SS1-SS2 no es causal.
La respuesta al impulso es absolutamente integrable, por lo que el sistema en paralelo SS1-SS2 es BIBO estable

Subsistema LTIC global SS1-SS2-SS3

h₁₂₃(t) no tiene la forma kδ(T), por lo que el sistema global es con memoria.
h₁₂(t) = 0 t<0, el sistema global es causal.
La respuesta al impulso es absolutamente integrable, por lo que el sistema global es BIBO estable

literal d. salida w(t)

La combinación en paralelo del sistema SS1 y SS2 a partir de la entrada x(t) dada es:

w(t) = x(t) \circledast h_{12} (t) = h_{12} (t) \circledast x(t)

w(t) = h_{12} (t) \circledast \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta (t-4k)

= \sum_{k=-\infty}^{\infty} [h_{12} (t) \circledast\delta (t-4k)]

= \sum_{k=-\infty}^{\infty} h_{12} (t-4k)

que es una función periódica con T_k = 4.

Por ser una señal periódica, la potencia y energía se determinan en un periodo:

E_{w(t)} = \int_{-1}^{3} |w(t)|^2 \delta t

= \int_{-1}^{1} |1|^2 \delta t + \int_{1}^{2} |-1|^2 \delta t + \int_{2}^{3} |0|^2 \delta t

= \int_{-1}^{1} (1) \delta t + \int_{1}^{2} (1) \delta t = t \bigg|_{-1}^{1} + t \bigg|_{1}^{2} =2+1 =3

E_{w(t)} = 3

P_{w(t)} = \frac{E_{w(t)}}{T_0} = \frac{3}{4}

literal e. salida y(t) sistema global

y(t) = x(t) \circledast h_{123} (t) = h_{123} (t) \circledast x(t)

= h_{123} (t) \circledast \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta (t-4k)

= \sum_{k=-\infty}^{\infty} [h_{123} (t) \circledast \delta (t-4k)]

y(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h_{123}(t-4k)

siendo una respuesta de tipo periódica con T₀ = 4, por lo que la potencia y energía se determinan en un periodo,

E_{y(t)} = \int_{0}^{4} |y(t)|^2 \delta t

= \int_{0}^{1} |t|^2 \delta t + \int_{1}^{2} |1|^2 \delta t +\int_{2}^{3} |5-2t|^2 \delta t + \int_{3}^{4} |t-4|^2 \delta t

= \frac{t^3}{3} \Big|_0^1 + t\Big|_1^2 + \int_{2}^{3}(25-20t+4t^2) \delta t+ \int_{3}^{4} |t^2-8t+16| \delta t

= (0+\frac{1}{3}) + (2-1) + [25t-10t^2+\frac{4}{3}t^3] \Big|_2^3 + [\frac{t^3}{3}-4[t^2]+16t] \Big|_3^4

= \frac{1}{3} + 1 + \Big[\big(25(3)-10(3)^2+\frac{4}{3}(3)^3\big) -\big(25(2)-10(2)^2+\frac{4}{3}(2)^3\big)\Big] +

+ \Big[\big(\frac{4^3}{3}-4[4^2]+16(4)\big) - \big(\frac{3^3}{3}-4[3^2]+16(3) \big)\Big]

= \frac{4}{3} + \Big[\big(75-90+36\big) -\big(50-40+\frac{32}{3}\big)\Big] +

+ \Big[\big(\frac{64}{3}-64 +64\big) - \big(9-36+48 \big)\Big]

= \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2

E_{y(t)} = 2

P_{y(t)} =\frac{E_{y(t)}}{T_0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

a. respuestas impulso de los subsistemas SS1, SS2 y SS3

Instrucciones en Python

b. respuestas impulso h12(t) y respuesta de paso (escalón unitario) s12(t)

c. respuesta impulso del sistema global h123(t)

litera b. Tabla de respuestas

literal d. salida w(t)

literal e. salida y(t) sistema global

b. respuestas impulso h₁₂(t) y respuesta de paso (escalón unitario) s₁₂(t)

c. respuesta impulso del sistema global h₁₂₃(t)