LÍMITES

El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

Definición de límite

Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.

Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función  f (x):

x f (x) Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2,  f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre  f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.
1.9

1.99

1.999

1.9999

2.0001

2.001

2.01

2.1

 2.61

2.9601

2.996001

2.99960001

3.00040001

3.004001

3.0401

3.41
|x – 2| | f (x) – 3|
|1.9-2| = 0.1

|1.99-2| = 0.01

|1.999-2| = 0.001

|1.9999-2| = 0.0001

|2.0001-2| = 0.0001

|2.001-2| = 0.001

|2.01-2| = 0.01

|2.1-2| = 0.1

 |2.61-3| = 0.39

|2.9601-3| = 0.0399

|2.996001-3| = 0.003999

|2.99960001-3| = 0.00039999

|3.00040001-3| = 0.00040001

|3.004001-3| = 0.004001

|3.0401-3| = 0.0401

|3.41-3| = 0.41

De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función  f (x) cuando x tiende a 2, es 3.

Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:

Definición épsilon-delta

Sea  f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe <!–[if gte vml 1]> <![endif]–><!–[if !vml]–><!–[endif]–>

Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista

Teoremas sobre límites

A través de ejemplos estableceremos, sin demostración, algunos teoremas importantes que nos permitirán hacer el cálculo de límites de funciones a mano.

Límite de una función constante

Sea f(x)=k, donde k es una constante. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando xa,
para a=4.

Por la izquierda Por la derecha
x f(x) x f(x)
3.75 k 4.25 k
3.9375 k 4.0625 k
3.98437 k 4.01562 k
3.99609 k 4.00391 k
3.99902 k 4.00098 k

Habrás notado que independientemente del valor del número a y de la constante k, el límite es siempre k. Por lo tanto proponemos el siguiente teorema:

Teorema 1: Límite de una función constante.

Límite de una función constante. Sea f(x)=k (constante), entonces:

Lím f(x) = Lím k = k
xa xa

Límite de f(x)=x cuando xa

Sea f(x)=x. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando xa, para a=4.

Por la izquierda Por la derecha
x f(x) x f(x)
3.75 3.75 4.25 4.25
3.9375 3.9375 4.0625 4.0625
3.98437 3.98437 4.01562 4.01562
3.99609 3.99609 4.00391 4.00391
3.99902 3.99902 4.00098 4.00098

La tabla anterior sugiere el siguiente teorema:

Teorema 2: Límite de f(x)=x.

Sea f(x)=x. Entonces:

Lim f(x) = Lim x = a
xa xa

Límite de una función multiplicada por una constante

Sea k una constante y f(x) una función cualquiera. En la siguiente tabla evaluaremos dos límites: en la columna izquierda evaluaremos Lim k f(x) y en la derecha evaluaremos k Lim f(x), ambos cuando x tiende a a=-1. En este ejemplo, k=2 y f(x)=3x-2.

Compara los valores de las dos columnas.

x [k f(x)] k [f(x)]
-1.25 -11.5 -11.5
-1.0625 -10.375 -10.375
-1.01563 -10.0937 -10.0937
-1.00391 -10.0234 -10.0234
-1.00098 -10.0059 -10.0059

Como habrás observado, los valores de las dos columnas son iguales. Entonces tenemos el siguiente teorema:

Teorema 3: Límite de una función multiplicada por una constante.

Sea k una constante y f(x) una función dada. Entonces:

Lim k f(x) = k Lim f(x)
xa xa

Límite de una suma, diferencia, producto y cociente de funciones

Sean f(x) y g(x) dos funciones cuyos límites existen cuando xa. En la siguiente tabla observaremos los valores de f, g, f+g, f-g, fg y f/g cuando x se acerca a un número a.

En este ejemplo, f(x)=x2+1, g(x)=x+2, a=2

f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f(x)/g(x)
5.84 4.2 10.04 1.64 24.528 1.39048
5.0804 4.02 9.1004 1.0604 24.4232 1.26378
5.008 4.002 9.01 1.006 20.042 1.25138
5.0008 4.0002 9.001 1.0006 20.0042 1.25014
5.00008 4.00002 9.0001 1.00006 20.0004 1.25001

Observa bien la tabla. Relaciona los límites de f y g con los límites de f+g , f-g, fg y f/g. La tabla sugiere el siguiente teorema:

Teorema 4: Límite de una suma, diferencia, producto y cociente de funciones

Supóngase que

Lim F(x) = L1 y Lim G(x) = L2
xa xa

Entonces:

1. Lim[ F(x)+G(x) ] = L1 + L2
xa
2. Lim[ F(x) – G(x) ] = L1 – L2
xa
3. Lim[ F(x) G(x) ] = L1 * L2
xa
4. Lim[ F(x) / G(x) ] = L1 / L2
xa si L2 no es igual a cero

El límite de una potencia

A continuación calcularemos valores de f(x)=xn para n entero positivo conforme xa. En la tabla, a=2 y n=3.

x xn an
1.75 5.35937 8.0
1.9375 7.27319 8.0
1.98437 7.81396 8.0
1.99609 7.95322 8.0
1.99902 7.98829 8.0

El resultado anterior sugiere el siguiente teorema:

Teorema 5: Límite de una potencia.

Sea n un entero positivo, entonces:

Lim xn = an
xa

Los teoremas 4 y 5 tienen como consecuencia los siguientes dos teoremas:

Teorema 6: Límite de un polinomio.

El límite de un polinomio. Sea f(x) una función polinomial, entonces:

Lim f(x) = f(a)
xa

Teorema 7: Límite de una función racional.

Sea f(x)=p(x)/q(x) un cociente de polinomios, entonces:

Lim f(x) = p(a)/q(a)
xa si q(a) no es cero.

Límite de una función que contiene un radical

A continuación calcularemos valores de la raíz-n de x, es decir, x(1/n) conforme xa. Si a>0 entoces n puede ser cualquier entero positivo, pero si a<0, n debe ser un entero impar. En la tabla, a=3 y n=2.

x x(1/n) a(1/n)
2.75 1.65831 1.73205
2.9375 1.71391 1.73205
2.98437 1.72753 1.73205
2.99609 1.73092 1.73205
2.99902 1.73177 1.73205

Lo anterior sugiere el próximo teorema.

Teorema 8: Límite de una función que contiene un radical.

Si a>0 y n es cualquier entero positivo, o si a<0 y n es un entero positivo impar, entonces:

Lim x(1/n) = a(1/n)
xa

El límite de una función compuesta

La inmensa mayoría de las funciones pueden ser vistas como composiciones de funciones más simples. Los teoremas que hemos «descubierto» se refieren a un pequeño grupo de funciones importantes.Trataremos de intuir las propiedades del límite de una función compuesta (fog )(x) = f[g(x)]. En la próxima tabla, calcularemos valores de g(x) conforme xa, y los compararás con el número f(L), donde L=Lim g(x). En este ejemplo, f(x) = x1/2, g(x) = x2 + 4, y a = 3.

x g(x) f[g(x)] f(L)
2.75 11.5625 3.40037 3.60555
2.9375 12.6289 3.55372 3.60555
2.98437 12.9065 3.59256 3.60555
2.99609 12.9766 3.6023 3.60555
2.99902 12.9941 3.60474 3.60555

La tabla anterior pretende ilustrar que Lim f(g(x))=f(Lim g(x))=f(L). Lo anterior sugiere el siguiente teorema:

Teorema 9: El límite de una función compuesta.

Si f y g son funciones tales que:

Lim g(x) = L y Lim f(x) = f(L)
xa xL

entonces,

Lim f [g(x)] = f(L)
xa

La definición formal de límite

En esta sección trataremos de ilustrar gráficamente el concepto de límite y su definición formal. Analiza la siguiente animación y observa que sucede con los valores f(x) cuando x se acerca a un número a.

Observa en la animación anterior que cuanto más cerca está x del número a=1, los valores de la función están más cerca del número L=2. De manera equivalente, para que los valores de la función estén cada vez más cerca del número L=2, es necesario que los valores de x estén suficientemente cerca del número a=1.

Definición formal de Límite:
Lim f(x)=L,
xa
si para todo >0, existe un >0 tal que

|f(x)-L|< cuando |x-a|<.

Límites que no existen

A continuación damos dos ejemplos de un límite que no existe.

    Distinto comportamiento por la izquierda y por la derecha

    El primer ejemplo se trata de una función discontinua definida por secciones. Investigaremos el valor de Lim f(x) cuando x1. Observa la siguiente animación.

    Como viste, cuando x se acerca a 1, los valores de la función NO se acercan a un número. Cuando x se acerca a 1 por la izquierda, f(x)2, y cuando x se acerca a 1 por la derecha,
    f(x)3. Por eso decimos que:
Lim f(x) NO EXISTE
x1

Comportamiento no acotado

Investigaremos el límite de la función f(x)=1/x2 con la siguiente animación.

    Como habrás observado, conforme x se acerca a cero por ambos lados, los valores de la función crecen sin límite. Por lo tanto los valores de la función no se acercan a ningún número. Entonces, el límite no existe. Esperamos que las gráficas generadas anteriormente hayan ayudado a que comprendas el concepto importantísimo del límite de una función, y la definición formal de límite. Es muy importante que comprendas este concepto, por lo que te sugerimos que estudies este cuaderno por el tiempo que sea necesario.