1. Ejemplo - Trayectoria parabólica de una partícula
Referencia: Steward 10.1 Ejemplo 1 p640
Imagina que una partícula se mueve a lo largo de la curva definida por las ecuaciones paramétricas:
x= t^2 - 2t y= t+1Realice el trazado de la curva para t en el intervalo [-2,4]
1.1 Algoritmo en Python
El resultado del algoritmo es:
Curvas por ecuaciones paramétricas
i,[ti,xi,yi]
0 [-2.0, 8.0, -1.0]
1 [-1.0, 3.0, 0.0]
2 [0.0, 0.0, 1.0]
3 [1.0, -1.0, 2.0]
4 [2.0, 0.0, 3.0]
5 [3.0, 3.0, 4.0]
6 [4.0, 8.0, 5.0]Instrucciones en Python para curvas paramétricas.
# Ejercicio Steward 10.1 p640
import numpy as np
# INGRESO
fx = lambda t: t**2 - 2*t
fy = lambda t: t + 1
a = -2
b = 4
muestras = 7
# PROCEDIMIENTO
ti = np.linspace(a,b,muestras)
xi = fx(ti)
yi = fy(ti)
# SALIDA
titulo = 'Curvas por ecuaciones paramétricas'
print(titulo)
print('i,[ti,xi,yi]')
for i in range(0,muestras,1):
print(i,[ti[i],xi[i],yi[i]])
1.2 Gráfica en Python
La gráfica requiere añadir muestras para suavizar la curva. Por ejemplo se crean el triple de muestras para la gráfica.
# GRAFICA ---------------------
import matplotlib.pyplot as plt
# suavizar la curva
muestras_graf = 3*muestras
verdigitos = 4
tk = np.linspace(a,b,muestras_graf)
xk = fx(tk)
yk = fy(tk)
plt.plot(xk,yk) # suave
plt.plot(xi,yi,'o',label='[xi,yi]')
# etiquetas de tiempo
for i in range(0,muestras,1):
plt.annotate('t='+str(np.round(ti[i],verdigitos)),
xy=[xi[i],yi[i]],
xytext=[xi[i],yi[i]])
# entorno de grafica
plt.axhline(0,color='gray')
plt.axvline(0,color='gray')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.title(titulo)
plt.tight_layout()
plt.show()
2. Ejemplo - Trayectoria circular de una partícula
Referencia: Steward 10.1 Ejemplo 2 p641
Considera una partícula se mueve a lo largo de la curva definida por las ecuaciones paramétricas:
x= cos(t) y= sen(t)Realice el trazado de la curva para t en el intervalo [0,2π ]
Usando el algoritmo anterior, el bloque de ingreso se actualiza a:
# INGRESO
fx = lambda t: np.cos(t)
fy = lambda t: np.sin(t)
a = 0 # intervalo t entre [a,b]
b = 2*np.pi
muestras = 9
Obteniendo los siguientes resultados:
i,[ti,xi,yi]
0 [0.0, 1.0, 0.0]
1 [0.7853981633974483, 0.7071067811865476, 0.7071067811865476]
2 [1.5707963267948966, 6.123233995736766e-17, 1.0]
3 [2.356194490192345, -0.7071067811865475, 0.7071067811865476]
4 [3.141592653589793, -1.0, 1.2246467991473532e-16]
5 [3.9269908169872414, -0.7071067811865477, -0.7071067811865475]
6 [4.71238898038469, -1.8369701987210297e-16, -1.0]
7 [5.497787143782138, 0.7071067811865474, -0.7071067811865477]
8 [6.283185307179586, 1.0, -2.4492935982947064e-16]
Sin embargo, para el caso de la circunferencia, también se puede usar gráfica superior y lateral para observar t vs x, t vs y.
El algoritmo requiere actualiza la parte gráfica para incorporar los sub-gráficos:
# Ejercicio Steward 10.2 p641
import numpy as np
# INGRESO
fx = lambda t: np.cos(t)
fy = lambda t: np.sin(t)
a = 0 # intervalo t entre [a,b]
b = 2*np.pi
muestras = 9
verdigitos = 4
# PROCEDIMIENTO
ti = np.linspace(a,b,muestras)
xi = fx(ti)
yi = fy(ti)
# SALIDA
titulo = 'Curvas por ecuaciones paramétricas'
print(titulo)
print('i,[ti,xi,yi]')
for i in range(0,muestras,1):
print(i,[ti[i],xi[i],yi[i]])
# GRAFICA ---------------------
import matplotlib.pyplot as plt
# suavizar la curva
muestras_graf = 3*muestras
tk = np.linspace(a,b,muestras_graf)
xk = fx(tk)
yk = fy(tk)
plt.subplot(221)
plt.plot(xk,tk) # suave
plt.plot(xi,ti,'o',label='[ti,xi]')
plt.axhline(0,color='gray')
plt.axvline(0,color='gray')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('t')
plt.legend()
plt.subplot(223)
plt.plot(xk,yk) # suave
plt.plot(xi,yi,'o',label='[xi,yi]')
# etiquetas de tiempo
for i in range(0,muestras-1,1):
plt.annotate('t='+str(np.round(ti[i],verdigitos)),
xy=[xi[i],yi[i]],
xytext=[xi[i],yi[i]])
# entorno de grafica
plt.axhline(0,color='gray')
plt.axvline(0,color='gray')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.title(titulo)
plt.subplot(224)
plt.plot(tk,yk) # suave
plt.plot(ti,yi,'o',label='[ti,yi]')
plt.axhline(0,color='gray')
plt.axvline(0,color='gray')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()
3. Otras ecuaciones paramétricas
3.1 Ejercicio
Referencia: Steward 10.1 Ejercicio Figura 11 p643
x= sin(9t) y= sen(10t)Realice el trazado de la curva para t en el intervalo [0,2π ]
Recuerde ajustar el número de muestras para el gráfico.
3.2 Ejercicio
Referencia: Steward 10.1 Ejercicio Figura 12 p643
x= 2.3 cos(10t)+cos(23t) y= 2.3 sen(10t)-sen(23t)Realice el trazado de la curva para t en el intervalo [0,2π ]
Recuerde ajustar el número de muestras para el gráfico.
