Ejercicio: 1Eva_IIT2008_T3_MN Ganancia en inversión
Se dispone de los datos (x, f(x)), en donde x es un valor de inversión y f(x) es un valor de ganancia, ambos en miles de dólares.
xi = [3.2 , 3.8 , 4.2 , 4.5 ] fi = [5.12, 6.42, 7.25, 6.85]
Los datos se usan junto al modelo propuesto:
f(x) = a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_3 x + a_4generando las expresiones del sistema de ecuaciones:
a_1 (3.2)^3 + a_2 (3.2)^2 + a_3 (3.2) + a_4 = 5.12 a_1 (3.8)^3 + a_2 (3.8)^2 + a_3 (3.8) + a_4 = 6.42 a_1 (4.2)^3 + a_2 (4.2)^2 + a_3 (4.2) + a_4 = 7.25 a_1 (4.5)^3 + a_2 (4.5)^2 + a_3 (4.5) + a_4 = 6.85Se convierte a la forma Ax=B
\begin{bmatrix} (3.2)^3 && (3.2)^2 && (3.2) && 1 \\ (3.8)^3 && (3.8)^2 && (3.8) && 1 \\ (4.2)^3 && (4.2)^2 && (4.2) && 1 \\ (4.5)^3 && (4.5)^2 && (4.5) && 1 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5.12 \\ 6.42 \\ 7.25 \\6.85 \end{bmatrix}
Se crea la matriz aumentada
\begin{bmatrix} (3.2)^3 && (3.2)^2 && (3.2) && 1 && 5.12\\ (3.8)^3 && (3.8)^2 && (3.8) && 1 && 6.42 \\ (4.2)^3 && (4.2)^2 && (4.2) && 1 && 7.25 \\ (4.5)^3 && (4.5)^2 && (4.5) && 1 && 6.85 \end{bmatrix}Se pivotea por filas:
\begin{bmatrix} (4.5)^3 && (4.5)^2 && (4.5) && 1 && 6.85 \\ (4.2)^3 && (4.2)^2 && (4.2) && 1 && 7.25 \\ (3.8)^3 && (3.8)^2 && (3.8) && 1 && 6.42 \\ (3.2)^3 && (3.2)^2 && (3.2) && 1 && 5.12 \end{bmatrix}Como se pide un método directo, se inicia con el algoritmo de eliminación hacia adelante con factor para cada fila a partir de la diagonal.
\begin{bmatrix} (4.5)^3 && (4.5)^2 && (4.5) \\ (4.2)^3 - (4.5)^3\frac{(4.2)^3}{(4.5)^3} && (4.2)^2 - (4.5)^2\frac{(4.2)^3}{(4.5)^3} && (4.2) - (4.5)\frac{(4.2)^3}{(4.5)^3} \\ (3.8)^3 - (4.5)^3\frac{(3.8)^3}{(4.5)^3} && (3.8)^2 - (4.5)^2\frac{(3.8)^3}{(4.5)^3} && (3.8) -(4.5)\frac{(3.8)^3}{(4.5)^3} \\ (3.2)^3 - (4.5)^3\frac{(3.2)^3}{(4.5)^3} && (3.2)^2 -(4.5)^2\frac{(3.2)^3}{(4.5)^3} && (3.2) - (4.5)\frac{(3.2)^3}{(4.5)^3} \end{bmatrix}continua a la derecha de la matriz:
\begin{bmatrix} 1 && 6.85 \\ 1 - 1\frac{(4.2)^3}{(4.5)^3} && 7.25 - 6.85\frac{(4.2)^3}{(4.5)^3} \\ 1 -1\frac{(3.8)^3}{(4.5)^3} && 6.42 - 6.85\frac{(3.8)^3}{(4.5)^3}\\1 -1\frac{(3.2)^3}{(4.5)^3} && 5.12-6.85\frac{(3.2)^3}{(4.5)^3} \end{bmatrix}Pivoteo parcial por filas AB: ---- [[91.125 20.25 4.5 1. 6.85 ] [74.088 17.64 4.2 1. 7.25 ] [54.872 14.44 3.8 1. 6.42 ] [32.768 10.24 3.2 1. 5.12 ]] Eliminación hacia adelante: ------ i: 0 k: 1 factor: 0.8130370370370371 i: 0 k: 2 factor: 0.6021618655692729 i: 0 k: 3 factor: 0.35959396433470514 [[91.125 20.25 4.5 1. 6.85 ] [ 0. 1.176 0.5413 0.187 1.6807] [ 0. 2.2462 1.0903 0.3978 2.2952] [ 0. 2.9582 1.5818 0.6404 2.6568]] i: 1 k: 2 factor: 1.9100529100529142 i: 1 k: 3 factor: 2.5154950869236625 [[ 9.1125e+01 2.0250e+01 4.5000e+00 1.0000e+00 6.8500e+00] [ 0.0000e+00 1.1760e+00 5.4133e-01 1.8696e-01 1.6807e+00] [ 0.0000e+00 0.0000e+00 5.6296e-02 4.0729e-02 -9.1503e-01] [ 0.0000e+00 0.0000e+00 2.2011e-01 1.7010e-01 -1.5710e+00]] i: 2 k: 3 factor: 3.9097744360903106 [[ 9.1125e+01 2.0250e+01 4.5000e+00 1.0000e+00 6.8500e+00] [ 0.0000e+00 1.1760e+00 5.4133e-01 1.8696e-01 1.6807e+00] [ 0.0000e+00 0.0000e+00 5.6296e-02 4.0729e-02 -9.1503e-01] [ 0.0000e+00 0.0000e+00 0.0000e+00 1.0860e-02 2.0065e+00]] Eliminación hacia atras: ------ i: 3 pivote: 0.010860484544693044 k: 2 factor: 3.7501994302000807 k: 1 factor: 17.214974358977564 k: 0 factor: 92.07692307694026 [[ 9.1125e+01 2.0250e+01 4.5000e+00 0.0000e+00 -1.7791e+02] [ 0.0000e+00 1.1760e+00 5.4133e-01 0.0000e+00 -3.2862e+01] [ 0.0000e+00 0.0000e+00 5.6296e-02 0.0000e+00 -8.4400e+00] [ 0.0000e+00 0.0000e+00 0.0000e+00 1.0860e-02 2.0065e+00]] i: 2 pivote: 0.05629629629629451 k: 1 factor: 9.615789473684513 k: 0 factor: 79.93421052631832 [[ 9.1125e+01 2.0250e+01 0.0000e+00 0.0000e+00 4.9674e+02] [ 0.0000e+00 1.1760e+00 0.0000e+00 0.0000e+00 4.8295e+01] [ 0.0000e+00 0.0000e+00 5.6296e-02 0.0000e+00 -8.4400e+00] [ 0.0000e+00 0.0000e+00 0.0000e+00 1.0000e+00 1.8476e+02]] i: 1 pivote: 1.1759999999999984 k: 0 factor: 17.219387755102066 [[ 91.125 0. 0. 0. -334.876 ] [ 0. 1.176 0. 0. 48.2952] [ 0. 0. 1. 0. -149.9209] [ 0. 0. 0. 1. 184.7569]] i: 0 pivote: 91.125 [[ 91.125 0. 0. 0. -334.876 ] [ 0. 1. 0. 0. 41.0673] [ 0. 0. 1. 0. -149.9209] [ 0. 0. 0. 1. 184.7569]] AB: [[ 1. 0. 0. 0. -3.6749] [ 0. 1. 0. 0. 41.0673] [ 0. 0. 1. 0. -149.9209] [ 0. 0. 0. 1. 184.7569]] Método de Gauss-Jordan solución X: [ -3.6749 41.0673 -149.9209 184.7569]
con lo que el polinomio buscado es:
f(x) = -3.67490842 x^3 + 41.06730769 x^2 + -149.92086081 x + 184.75692308que genera la siguiente gráfica:
para encontrar la cantidad necesaria a invertir y obtener 6.0 de ganancia en f(x):
6.0 = -3.67490842 x^3 + 41.06730769 x^2 + -149.92086081 x + 184.75692308que para usar en el algoritmo se realiza se reordena como g(x) = 0
-3.67490842 x^3 + 41.06730769 x^2 +-149.92086081 x + 184.75692308 - 6.0 = 0
y se aplica la búsqueda de raices en el rango [a, b] que de la gráfica se estima en [3.2, 3.8]
La ejecución del algoritmo de búsqueda queda como tarea.
Algoritmo en python para obtener la gráfica y respuesta a la matriz:
# Método de Gauss-Jordan # Sistemas de Ecuaciones A.X=B import numpy as np # INGRESO xi = [3.2 , 3.8 , 4.2 , 4.5 ] fi = [5.12, 6.42, 7.25, 6.85] A = [[4.5**3 , 4.5**2 , 4.5 , 1], [4.2**3 , 4.2**2 , 4.2 , 1], [3.8**3 , 3.8**2 , 3.8 , 1], [3.2**3 , 3.2**2 , 3.2 , 1]] B = [6.85,7.25,6.42,5.12] # PROCEDIMIENTO np.set_printoptions(precision=4) casicero = 1e-15 # Matrices como arreglo, numeros reales A = np.array(A,dtype=float) B = np.array(B,dtype=float) # Matriz aumentada AB B_columna = np.transpose([B]) AB = np.concatenate((A,B_columna),axis=1) # Pivoteo parcial por filas tamano = np.shape(AB) n = tamano[0] m = tamano[1] # Para cada fila en AB for i in range(0,n-1,1): # columna desde diagonal i en adelante columna = abs(AB[i:,i]) dondemax = np.argmax(columna) if (dondemax !=0): # NO en diagonal # intercambia filas temporal = np.copy(AB[i,:]) AB[i,:] = AB[dondemax+i,:] AB[dondemax+i,:] = temporal print('Pivoteo parcial por filas AB: ----') print(AB) # Eliminación hacia adelante print('Eliminación hacia adelante: ------') for i in range(0,n-1,1): # una fila pivote = AB[i,i] adelante = i + 1 for k in range(adelante,n,1): # diagonal adelante factor = AB[k,i]/pivote AB[k,:] = AB[k,:] - AB[i,:]*factor print('i:',i,'k:',k, 'factor:',factor) print(AB) # Eliminación hacia atras print('Eliminación hacia atras: ------') ultfila = n-1 ultcolumna = m-1 for i in range(ultfila,0-1,-1): # una fila pivote = AB[i,i] print('i:',i,' pivote:',pivote) atras = i - 1 for k in range(atras,0-1,-1): # diagonal adelante factor = AB[k,i]/pivote AB[k,:] = AB[k,:] - AB[i,:]*factor for j in range(0,m,1): # casicero revisa if abs(AB[k,j])<casicero: AB[k,j]=0 print(' k:',k, 'factor:',factor) print(AB) AB[i,:] = AB[i,:]/AB[i,i] # diagonal a unos print('AB:') print(AB) X = np.copy(AB[:,ultcolumna]) # SALIDA print('Método de Gauss-Jordan') print('solución X: ') print(X) # Revisa polinomio import matplotlib.pyplot as plt a = np.min(xi) b = np.max(xi) muestras = 21 px = lambda x: X[0]*x**3 + X[1]*x**2 +X[2]*x + X[3] xk = np.linspace(a,b,muestras) pxk = px(xk) # gráfica plt.plot(xk,pxk) plt.plot(xi,fi,'ro') plt.show()