s1Eva2007TII_T1 Distribución binomial acumulada

Ejercicio: 1Eva2007TII_T1 Distribución binomial acumulada

Dado F=0.4, dado que n=5 y k=1

F = \sum_{t=0}^{k} \binom{n}{t} p^t (1-p)^{n-t}

La fórmula para el ejercicio se convierte en:

F = \Bigg( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \end{array} \Bigg) p ^0 (1-p)^{(5-0)} + \Bigg( \begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array} \Bigg) p ^1 (1-p)^{(5-1)} = 0.4

Los valores de las combinatorias se calculan como:

>>> import scipy.special as sts
>>> sts.comb(5,0,repetition=False)
1.0
>>> sts.comb(5,1,repetition=False)
5.0
>>>

(1-p)^{5} + 5p (1-p)^{4} = 0.4

La expresión para el ejercicio se convierte en:

f(p) = (1-p)^{5} + 5p (1-p)^{4} - 0.4

como referencia se revisa la gráfica para f(p)

f(p) = (1-p)^5 + 5p(1-p)^4 - 0.4

= (1-p)^4 (1 - p + 5p) - 0.4

= (1-p)^4 (1 + 4p) - 0.4

= (1-p)^2 (1-p)^2 (1 + 4p) - 0.4

= (1-2p+p^2) (1-2p+p^2) (1 + 4p) - 0.4

= (1 - 4p + 6p^2 - 4p^3 +p^4 ) (1 + 4p) - 0.4

= 1 - 10p^2 + 20p^3 + 15p^4 + 4p^5 - 0.4

f(p) = 0.6 - 10p^2 + 20p^3 + 15p^4 + 4p^5

y su derivada:

f'(p) = - 20p + 60p^2 + 60p^3 +20p^4

con lo que se puede desarrollar el método Newton-Raphson.

Verificando el polinomio obtenido a partir de la expresión inicial usando Sympy:

>>> import sympy as sp
>>> p = sp.Symbol('p')
>>> poli = (1-p)**5 + 5*p*((1-p)**4) - 0.4
>>> pol = poli.expand()
>>> pol
4*p**5 - 15*p**4 + 20*p**3 - 10*p**2 + 0.6
>>> pol.diff(p,1)
20*p**4 - 60*p**3 + 60*p**2 - 20*p

A partir de la gráfica, un punto inicial cercano a la raíz es X0 = 0.2

itera = 0

f(0.2) = 0.6 - 10(0.2)^2 + 20(0.2)^3 + 15(0.2)^4 + 4(0.2)^5 = 0.3373

f'(0.2) = - 20(0.2) + 60(0.2)^2 + 60(0.2)^3 +20(0.2)^4 = -2.048

x_1 = 0.2 -\frac{0.3373}{-2.048} = 0.3647

errado = |0.2 - 0.36469| = 0.1647

itera = 1

f(0.36469) = 0.6 - 10(0.36469)^2 + 20(0.36469)^3 + 15(0.36469)^4 + 4(0.36469)^5

= 0.0005566

f'(0.36469) = - 20(0.36469) + 60(0.36469)^2 + 60(0.36469)^3 +20(0.36469)^4

= -1.8703

x_1 = 0.36469 -\frac{0.0005566}{-1.8703}

= 0.36499

errado = |0.36469 - 0.36499| = 0.000297

itera = 3

f(0.36499) = 0.6 - 10(0.36499)^2 + 20(0.36499)^3 + 15(0.36499)^4 + 4(0.36499)^5

= 1.6412291237166698e-07

f'(0.36499) = - 20(0.36499) + 60(0.36499)^2 + 60(0.36499)^3 +20(0.36499)^4

= -1.869204616112814

x_1 = 0.36469 -\frac{1.6412291237166698e-07}{ -1.8692}

= 0.36499

errado = |0.36499 - 0.36499| = 8.7804e-08

verificar con raíz: 0.3649852264049102

Instrucciones para la gráfica

# 1ra Eval II Término 2007
# Tema 1. Distribución binomial acumulada
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.special as sts

fp = lambda p: (1-p)**5 + 5*p*((1-p)**4) - 0.4

a = 0
b = 1
pasos = 100

# PROCEDIMIENTO
xi = np.linspace(a,b,pasos+1)
p_i = fp(xi)

# SALIDA
plt.plot(xi,p_i)
plt.axhline(0)
plt.show()

Algoritmo en Python

el resultado usando el algoritmo es:

i ['xi', 'fi', 'dfi', 'xnuevo', 'tramo']
0 [ 0.2     0.3373 -2.048   0.3647  0.1647]
1 [ 3.6469e-01  5.5668e-04 -1.8703e+00  3.6499e-01  2.9764e-04]
2 [ 3.6499e-01  1.6412e-07 -1.8692e+00  3.6499e-01  8.7804e-08]
raiz en:  0.3649852264049102

con error de: 8.780360960525257e-08

Algoritmo en Python para Newton-Raphson

# 1Eva_IIT2007_T1 Distribución binomial acumulada
# Método de Newton-Raphson

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def newton_raphson(fx,dfx,xi, tolera, iteramax=100, vertabla=False, precision=4):
    '''
    fx y dfx en forma numérica lambda
    xi es el punto inicial de búsqueda
    '''
    itera=0
    tramo = abs(2*tolera)
    if vertabla==True:
        print('método de Newton-Raphson')
        print('i', ['xi','fi','dfi', 'xnuevo', 'tramo'])
        np.set_printoptions(precision)
    while (tramo>=tolera):
        fi = fx(xi)
        dfi = dfx(xi)
        xnuevo = xi - fi/dfi
        tramo = abs(xnuevo-xi)
        if vertabla==True:
            print(itera,np.array([xi,fi,dfi,xnuevo,tramo]))
        xi = xnuevo
        itera = itera + 1

    if itera>=iteramax:
        xi = np.nan
        print('itera: ',itera, 'No converge,se alcanzó el máximo de iteraciones')

    return(xi)

# INGRESO
fx  = lambda p: 4*p**5 - 15*p**4 + 20*p**3 - 10*p**2 + 0.6
dfx = lambda p: 20*p**4 - 60*p**3 + 60*p**2 - 20*p

x0 = 0.2
tolera = 0.0000001

# PROCEDIMIENTO
respuesta = newton_raphson(fx,dfx,x0, tolera, vertabla=True)
# SALIDA
print('raiz en: ', respuesta)

# GRAFICA
a = 0
b = 1
muestras = 21

xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = fx(xi)
plt.plot(xi,fi, label='f(x)')
plt.axhline(0)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

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Algoritmo en Python

Algoritmo en Python para Newton-Raphson

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