Ejercicio: 1Eva2007TII_T3 Interpolación inversa
Para determinar el valor de x, usando interpolación inversa.
f(0.50) = 1.648
f(0.65) = 1.915
f( x ) = 2.117
f(0.80) = 2.225
f(0.95) = 2.5857Para el algoritmo se intercambian las variables previo a usarlo.
fi = [0.50 , 0.65 , 0.80, 0.95 ]
xi = [1.648, 1.915, 2.225, 2.5857 ]Luego se evalúa en el punto buscado, en éste caso: fi=2.117, obteniendo que x es: 0.750321134121361
Para obtener el polinomio se usa el método de Lagrange:
término 1
L_{0} (x) = \frac{(x-1.915)(x-2.225)(x-2.5857)}{(1.648-1.915)(1.648-2.225)(1.648-2.5857)}término 2
L_{1} (x) = \frac{(x-1.648)(x-2.225)(x-2.5857)}{(1.915-1.648)(1.915-2.225)(1.915-2.5857)}término 3
L_{2} (x) = \frac{(x-1.648)(x-1.915)(x-2.5857)}{(2.225-1.648)(2.225-1.915)(2.225-2.5857)}término 4
L_{3} (x) = \frac{(x-1.648)(x-1.915)(x-2.225)}{(2.5857-1.648)(2.5857-1.915)(2.5857-2.225)}se construye el polinomio usando la fórmula para fn(x) para cada valor fi,
p_3(x) = 0.5 L_{0} (x) + 0.65 L_{1} (x) + 0.8 L_{2} (x) + 0.95 L_{3} (x) p_3(x) = 0.5 \frac{(x-1.915)(x-2.225)(x-2.5857)}{-0.14446112} + +0.65 \frac{(x-1.648)(x-2.225)(x-2.5857)}{0.05551384 } + + 0.8 \frac{(x-1.648)(x-1.915)(x-2.5857)}{-0.06451841} + +0.95 \frac{(x-1.648)(x-1.915)(x-2.225)}{0.22684978} p_3(x) = 0.03588 x^3 - 0.34275 x^2 + 1.44073 x - 1.10404A partir del resultado del algoritmo se puede evaluar p(2.117)
valores de fi: [0.5 0.65 0.8 0.95]
divisores en L(i): [-0.14446112 0.05551384 -0.06451841 0.22684978]
Polinomio de Lagrange, expresiones
-3.46113878334255*(x - 2.5857)*(x - 2.225)*(x - 1.915)
+ 11.7087921085767*(x - 2.5857)*(x - 2.225)*(x - 1.648)
- 12.3995618056856*(x - 2.5857)*(x - 1.915)*(x - 1.648)
+ 4.18779332775953*(x - 2.225)*(x - 1.915)*(x - 1.648)
Polinomio de Lagrange:
0.0358848473081546*x**3 - 0.342756582990933*x**2
+ 1.44073214117569*x - 1.10404634485234
>>> polisimple.subs(x,2.117)
0.750321134121178
>>> polisimple
0.0358848473081546*x**3 - 0.342756582990933*x**2
+ 1.44073214117569*x - 1.10404634485234
>>> Algoritmo en Python
# 1Eva2007TII_T3 Interpolación inversa, encontrar xi para fi dado
# Interpolacion de Lagrange
# divisoresL solo para mostrar valores denominador
import numpy as np
import sympy as sym
# INGRESO , Datos de prueba
fi = [0.50 , 0.65 , 0.80, 0.95 ]
xi = [1.648, 1.915, 2.225, 2.5857 ]
# PROCEDIMIENTO
# Vectores como arreglo, numeros reales
xi = np.array(xi,dtype=float)
fi = np.array(fi,dtype=float)
n = len(xi)
# Polinomio de Lagrange
x = sym.Symbol('x')
polinomio = 0*x # sym.S.Zero en Sympy
divisorL = np.zeros(n, dtype = float)
for i in range(0,n,1):
# Termino de Lagrange
numerador = 1
denominador = 1
for j in range(0,n,1):
if (j!=i):
numerador = numerador*(x-xi[j])
denominador = denominador*(xi[i]-xi[j])
terminoLi = numerador/denominador
polinomio = polinomio + terminoLi*fi[i]
divisorL[i] = denominador
polisimple = polinomio.expand() # simplifica los (x-xi)
px = sym.lambdify(x,polisimple) # evaluación numérica
# SALIDA
print(' valores de fi: ',fi)
print('divisores en L[i]: ',divisorL)
print()
print('Polinomio de Lagrange, expresiones')
#print(polinomio)
terminos = sym.Add.make_args(polinomio)
n_term = len(terminos)
for i in range(0,n_term,1):
if i<(n_term-1):
print(terminos[i],'+')
else:
print(terminos[i])
print()
print('Polinomio de Lagrange: ')
print(polisimple)
print()
sym.pprint(polisimple)
para revisar con la gráfica, se añaden las líneas,
Observe que para la gráfica en éste caso particular se han invertido los ejes.
# Gráfica --------------
import matplotlib.pyplot as plt
muestras = 21 # resolución gráfica
a = np.min(xi) # intervalo [a,b]
b = np.max(xi)
xk = np.linspace(a,b,muestras)
yk = px(xk)
plt.plot(fi,xi,'o', label = '[xi,fi]')
plt.plot(yk,xk, label = 'p(x)')
plt.axhline(2.117,linestyle='dashed',
label='f(x)=2.117', color='green')
plt.legend()
plt.xlabel('xi')
plt.ylabel('fi')
plt.title('Interpolación Lagrange')
plt.show()