Ejercicio: 1Eva2009TII_T1 Movimiento de partícula en plano
a. Planteamiento del problema
Las ecuaciones expresan las trayectorias de dos partículas,
x(t) = 3 \sin ^{3}(t)-1 y(t) = 4 \sin (t)\cos (t)que para que se encuentren o choquen, sus coordenadas deberían ser iguales.
x(t) = y(t) 3 \sin ^{3}(t)-1 = 4 \sin (t)\cos (t)Se reordena la expresión, de la forma f(t) = 0 para usarla en el algoritmo de búsqueda de raíces.
3 \sin ^{3}(t)-1 - 4 \sin (t)\cos (t) = 0 f(t) = 3 \sin ^{3}(t)-1 - 4 \sin (t)\cos (t)b. Intervalo de búsqueda de raíz
Como la variable independiente es tiempo, el evento a buscar se supone sucede en tiempos positivos t>=0, por lo que el valor inicial a la izquierda del intervalo será a=0
Para el caso de b, a la derecha, se usa lo indicado en el enunciado para la pregunta del literal b, donde se indica t ∈ [0, π/2], por lo que b = π/2
[0, π/2]
verificando que exista cambio de signo entre f(a) y f(b)
f(0) = 3 \sin ^{3}(0)-1 - 4 \sin (0)\cos (0) = -1 f(\pi /2) = 3 \sin ^{3}(\pi /2)-1 - 4 \sin (\pi /2)\cos (\pi /2) = 3 (1)^3-1 - 4 (1)(0) = 2con lo que se comprueba que al existir cambio de signo [-,+], debe existir una raíz en el intervalo.
c. Método de Falsa Posición
Desarrollo analítico con lápiz y papel
Se trata de mostrar los pasos en al menos tres iteraciones del método, usando las siguientes expresiones:
f(t) = 3 \sin ^{3}(t)-1 - 4 \sin (t)\cos (t) c = b - f(b) \frac{a-b}{f(a)-f(b)}[0, π/2]
iteración 1
a = 0 , b = \pi/2tomando los datos al validar los puntos extremos
f(0) = -1 f(\pi /2) = 2 c = \pi/2 - 2 \frac{0-\pi/2}{-1-2} = \pi/6 f(\pi/6) = 3 \sin ^{3}(\pi/6)-1 - 4 \sin (\pi/6)\cos (\pi/6) = -2.3570el signo de f(c) es el mismo que f(a), se ajusta el lado izquierdo
tramo = |c-a| = |\pi /6 - 0| = \pi/6 a = c = \pi/6 , b = \pi/2iteración 2
a = \pi/6 , b = \pi/2 f(\pi/6) = -2.3570 f(\pi /2) = 2 c = \pi/2 - 2 \frac{\pi/6-\pi/2}{-1-2} = 1.0901 f(1.0901) = 3 \sin ^{3}(1.0901)-1 - 4 \sin (1.0901)\cos (1.0901) = -0.5486el signo de f(c) es el mismo que f(a), se ajusta el lado izquierdo
tramo = |c-a| = | 1.0901-\pi/6| = 1.0722 a = c = 1.0901 , b = \pi/2iteración 3
a = 1.0901 , b = \pi/2 f(1.0901) = -0.5486 f(\pi /2) = 2 c = \pi/2 - 2 \frac{-0.5486-\pi/2}{-0.5486-2} = 1.19358 f(1.19358) = 3 \sin ^{3}(1.19358)-1 - 4 \sin (1.19358)\cos (1.19358) = 0.0409el signo de f(c) es el mismo que f(b), se ajusta el lado derecho
tramo = |b-c| = | \pi/2- 1.19358| = 0.3772 a = 1.0901 , b = 1.19358Algoritmo con Python
Los parámetros aplicados en el algoritmo son los desarrollados en el planteamiento del problema e intervalo de búsqueda, con lo que se obtiene los siguientes resultados:
método de la Posición Falsa
i ['a', 'c', 'b'] ['f(a)', 'f(c)', 'f(b)']
tramo
0 [0. 0.523599 1.570796] [-1. -2.357051 2. ]
0.5235987755982989
1 [0.523599 1.090105 1.570796] [-2.357051 -0.548671 2. ]
0.5665065528830355
2 [1.090105 1.193587 1.570796] [-0.548671 0.040977 2. ]
0.37720921125460705
3 [1.090105 1.186396 1.193587] [-0.548671 -0.000573 0.040977]
0.09629045311092965
4 [1.186396 1.186495 1.193587] [-5.731531e-04 -2.335321e-07 4.097678e-02]
9.919955449055884e-05
raiz: 1.1864949811467547las instrucciones en Python son:
# 1Eva_IIT2009_T1 Movimiento de partícula en plano
import numpy as np
#INGRESO
xt = lambda t: 3*(np.sin(t)**3)-1
yt = lambda t: 4*np.sin(t)*np.cos(t)
fx = lambda t: 3*(np.sin(t)**3)-1 - 4*np.sin(t)*np.cos(t)
a = 0
b = np.pi/2
tolera = 0.001
# intervalo para gráfica
La = a
Lb = b
muestras = 21
# PROCEDIMIENTO
tabla = []
tramo = abs(b-a)
fa = fx(a)
fb = fx(b)
while not(tramo<=tolera):
c = b - fb*(a-b)/(fa-fb)
fc = fx(c)
unafila = [a,c,b,fa,fc,fb,tramo]
cambio = np.sign(fa)*np.sign(fc)
if cambio>0:
tramo = abs(c-a)
a = c
fa = fc
else:
tramo = abs(b-c)
b = c
fb = fc
unafila[6]=tramo
tabla.append(unafila)
tabla = np.array(tabla)
ntabla = len(tabla)
# SALIDA
np.set_printoptions(precision=6)
print('método de la Posición Falsa ')
print('i', ['a','c','b'],[ 'f(a)', 'f(c)','f(b)'])
print(' ','tramo')
for i in range(0,ntabla,1):
print(i, tabla[i,0:3],tabla[i,3:6])
print(' ', tabla[i,6])
print('raiz: ',c)
# GRAFICA -------------------
import matplotlib.pyplot as plt
ti = np.linspace(La,Lb,muestras)
xi = xt(ti)
yi = yt(ti)
fi = fx(ti)
plt.plot(ti,xi, label='x(t)')
plt.plot(ti,yi, label='y(t)')
plt.plot(ti,fi, label='f(t)')
plt.plot(c,fx(c),'ro')
plt.axhline(0, color='green')
plt.axvline(c, color='magenta')
plt.legend()
plt.xlabel('t')
plt.title('Método de Falsa Posición')
plt.show()