Ejercicio: 1Eva2018TII_T2 Distancia mínima a un punto
Literal a
Se requiere analizar la distancias entre una trayectoria y=ex con el punto=[1,1]
Al analizar las distancias de ex y el punto [1,1] se trazan lineas paralelas a los ejes desde el punto [1,1], por lo que se determina que el intervalo de x = [a,b] para distancias se encuentra en:
a > 0, a = 0.1
b < 1, b = 0.7
El ejercicio usa la fórmula de distancia entre dos puntos:
d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2- y_1)^2}en los cuales:
[x1,y1] = [1,1]
[x2,y2] = [x, ex]
que al sustituir en la fórmula se convierte en:
d = \sqrt{(x-1)^2+(e^x- 1)^2}que es lo requerido en el literal a
Literal b
Para usar un método de búsqueda de raíces, se requiere encontrar el valor cuando f(x) = d' = 0.
Un método como el de Newton Raphson requiere también f'(x) = d''
expresiones obtenidas usando Sympy
f(x):
______________________
╱ 2
╱ 2 ⎛ x ⎞
╲╱ (x - 1) + ⎝ℯ - 1⎠
df(x) :
⎛ x ⎞ x
x + ⎝ℯ - 1⎠⋅ℯ - 1
──────────────────────────
______________________
╱ 2
╱ 2 ⎛ x ⎞
╲╱ (x - 1) + ⎝ℯ - 1⎠
d2f(x) :
2
⎛ ⎛ x ⎞ x ⎞
⎛ x ⎞ x 2⋅x ⎝x + ⎝ℯ - 1⎠⋅ℯ - 1⎠
⎝ℯ - 1⎠⋅ℯ + ℯ + 1 - ──────────────────────
2
2 ⎛ x ⎞
(x - 1) + ⎝ℯ - 1⎠
───────────────────────────────────────────────
______________________
╱ 2
╱ 2 ⎛ x ⎞
╲╱ (x - 1) + ⎝ℯ - 1⎠ 
lo que permite observar la raíz de f(x) en una gráfica:
con las siguientes instrucciones:
# Eva_IIT2018_T2 Distancia mínima a un punto
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sym
# INGRESO
x = sym.Symbol('x')
fx = sym.sqrt((x-1)**2+(sym.exp(x) -1)**2)
a = 0
b = 1
muestras = 21
# PROCEDIMIENTO
dfx = sym.diff(fx,x,1)
d2fx = sym.diff(fx,x,2)
f = sym.lambdify(x,dfx)
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = f(xi)
# SALIDA
print("f(x):")
sym.pprint(fx)
print('df(x) :')
sym.pprint(dfx)
print("d2f(x) :")
sym.pprint(d2fx)
# GRAFICA
plt.plot(xi,fi, label='df(x)')
plt.axhline(0)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('df(x)')
plt.title('Derivada de distancia entre trayectoria y punto')
plt.legend()
plt.grid()
plt.tight_layout()
plt.show()
Para no complicar mas las fórmulas se recurre a un método mas simple aunque requiera más iteraciones como el método de la bisección en el intervalo dado. Donde f(x) es la derivada al pasar por cero.
f(x) = \frac{x + (e^x - 1)e^x - 1}{\sqrt{(x - 1)^2 + (e^x - 1)^2}}itera = 0 , a = 0, b=1
c= \frac{0+1}{2} = 0.5 f(0) = \frac{0 + (e^0 - 1)e^0 - 1}{\sqrt{(0 - 1)^2 + (e^0 - 1)^2}} = -1 f(1) = \frac{1 + (e^1 - 1)e^1 - 1}{\sqrt{(1 - 1)^2 + (e^1 - 1)^2}} 2.7183 f(0.5) = \frac{(0.5) + (e^(0.5) - 1)e^(0.5) - 1}{\sqrt{((0.5) - 1)^2 + (e^(0.5) - 1)^2}} = 0.6954cambio de signo a la izquierda,
a= 0, b=c=0.5
tramo = |0.5-0| = 0.5
itera = 1
c= \frac{0+0.5}{2} = 0.25 f(0.25) = \frac{(0.25) + (e^(0.25) - 1)e^(0.25) - 1}{\sqrt{((0.25) - 1)^2 + (e^(0.25) - 1)^2}} = -0.4804cambio de signo a la derecha,
a=c= 0.25, b=0.5
itera = 2
c= \frac{0.25+0.5}{2} = 0.375 f(0.375) = \frac{(0.375) + (e^(0.375) - 1)e^(0.375) - 1}{\sqrt{((0.375) - 1)^2 + (e^(0.375) - 1)^2}} = 0.0479cambio de signo a la izquierda,
a= 0.25, b=c=0.375
se continúan las iteraciones con el algoritmo, para encontrar la raíz en 0.364:
método de Bisección
i ['a', 'c', 'b'] ['f(a)', 'f(c)', 'f(b)']
tramo
0 [0, 0.5, 1] [-1. 0.6954 2.7183]
0.5
1 [0, 0.25, 0.5] [-1. -0.4804 0.6954]
0.25
2 [0.25, 0.375, 0.5] [-0.4804 0.0479 0.6954]
0.125
3 [0.25, 0.3125, 0.375] [-0.4804 -0.2388 0.0479]
0.0625
4 [0.3125, 0.34375, 0.375] [-0.2388 -0.1004 0.0479]
0.03125
5 [0.34375, 0.359375, 0.375] [-0.1004 -0.0274 0.0479]
0.015625
6 [0.359375, 0.3671875, 0.375] [-0.0274 0.01 0.0479]
0.0078125
7 [0.359375, 0.36328125, 0.3671875] [-0.0274 -0.0088 0.01 ]
0.00390625
8 [0.36328125, 0.365234375, 0.3671875] [-0.0088 0.0006 0.01 ]
0.001953125
9 [0.36328125, 0.3642578125, 0.365234375] [-0.0088 -0.0041 0.0006]
0.0009765625
raíz en: 0.3642578125
Al algoritmo anterior se complementa con las instrucciones de la función para la bisección.
# 1Eva2018TII_T2 Distancia mínima a un punto
# Algoritmo de Bisección
# [a,b] se escogen de la gráfica de la función
# error = tolera
import numpy as np
def biseccion(fx,a,b,tolera,iteramax = 50, vertabla=False, precision=4):
'''
Algoritmo de Bisección
Los valores de [a,b] son seleccionados
desde la gráfica de la función
error = tolera
'''
fa = fx(a)
fb = fx(b)
tramo = np.abs(b-a)
itera = 0
cambia = np.sign(fa)*np.sign(fb)
if cambia<0: # existe cambio de signo f(a) vs f(b)
if vertabla==True:
print('método de Bisección')
print('i', ['a','c','b'],[ 'f(a)', 'f(c)','f(b)'])
print(' ','tramo')
np.set_printoptions(precision)
while (tramo>=tolera and itera<=iteramax):
c = (a+b)/2
fc = fx(c)
cambia = np.sign(fa)*np.sign(fc)
if vertabla==True:
print(itera,np.array([a,c,b]),
np.array([fa,fc,fb]))
if (cambia<0): # cambio de signo izquierda
b = c
fb = fc
else: # cambio de signo derecha
a = c
fa = fc
tramo = np.abs(b-a)
if vertabla==True:
print(' ',tramo)
itera = itera + 1
respuesta = c
# Valida respuesta
if (itera>=iteramax):
respuesta = np.nan
else:
print(' No existe cambio de signo entre f(a) y f(b)')
print(' f(a) =',fa,', f(b) =',fb)
respuesta=np.nan
return(respuesta)
# PROGRAMA ----------------------
# INGRESO
fx = lambda x: (x + (np.exp(x) - 1)*np.exp(x) - 1)/np.sqrt((x - 1)**2 + (np.exp(x) - 1)**2)
a = 0
b = 1
tolera = 0.001
# PROCEDIMIENTO
c = biseccion(fx,a,b,tolera,vertabla=True)
# SALIDA
print('raíz en: ',c)
# GRAFICA
import matplotlib.pyplot as plt
muestras = 21 # en intervalo [a,b]
xj = np.linspace(a,b,muestras)
fj = fx(xj)
plt.plot(xj,fj, label='f(x)')
plt.plot(c,0,'o')
plt.axhline(0)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Biseccion')
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
Otros
Gráfica de trayectoria y punto, usada en el enunciado
# Eva_IIT2018_T2 Distancia mínima a un punto
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# INGRESO
fx = lambda x: np.exp(x)
punto = [1,1]
xk = 0.25
a = 0
b = 2
muestras = 21
# PROCEDIMIENTO
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = fx(xi)
fk = fx(xk)
# SALIDA
# GRAFICA
plt.plot(xi,fi, label='trayectoria')
plt.plot(punto[0],punto[1],'o', label='punto')
plt.plot(xk,fk,'o')
plt.axhline(punto[0], color='red',linestyle='dotted')
plt.axvline(punto[1], color='red',linestyle='dotted')
plt.axhline(0,color='gray')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Distancia mínima a un punto en trayectoria')
plt.legend()
#plt.grid()
plt.tight_layout()
plt.show()