1ra Evaluación II Término 2014-2015. 9/Diciembre/2013. ICM00158

Tema 1. Usted tiene que diseñar un canal triangular abierto para transportar una corriente de deshechos desde una planta química hasta un depósito de estabilización de desechos. 

La velocidad media aumenta con el radio hidráulico,

R_h = \frac{A}{P}

donde A es el área y P es el perímetro mojado de la sección transversal.

El perímetro mojado es la longitud
de los lados y fondo del canal que están bajo el agua

Como la razón del flujo máximo corresponde a la velocidad máxima, el diseño óptimo corresponde a un valor θ que maximice R_h. Considere d=1 unidad.

a) Encuentre un modelo para calcular R_h en función de θ.

b) Obtenga la ecuación para encontrar el máximo.

c) Encuentre un intervalo de existencia y un intervalo de convergencia tal que el método de Newton, y

d) Aproxime θ con una precisión de 0.0001.

Nota: Si no logra encontrar el modelo en el literal a) utilice la siguiente ecuación
R_h= \frac{d \cos(\theta)}{2(1 + \cos (\theta))}

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Referencia: Chapra Problemas 16.11 p442 pdf466.

Siendo c la hipotenusa de un triángulo del canal, la formula queda en función de la profundidad del canal d.

p = w + 2c \frac{w}{2} = c \cos (\theta) d = c \sin (\theta) c = \frac{d}{sin(\theta)} \frac{w}{2} = \frac{d}{sin(\theta)} \cos(\theta) w = 2d\frac{ \cos(\theta)}{sin(\theta)}

perimetro p  es entonces:

p = 2d\frac{ \cos(\theta)}{sin(\theta)} + 2\frac{d}{sin(\theta)} p = 2d\frac{ \cos(\theta)+1}{sin(\theta)}

continúe calculando el área y encuentre la fórmula para el problema ...