Diferencias Divididas [ hacia adelante ] [ centradas ] || [ algoritmo ] [ gráfica ]
Referencia: Chapra 23.1 p668, Rodríguez 8.2 p324
La diferenciación numérica aproxima la derivada f'(x) utilizando muestras xi alrededor del punto de interés que se encuentran a distancia h.
Se pueden generar fórmulas por diferencias divididas de alta exactitud
tomando términos adicionales en la expansión de la serie de Taylor. Como referencia, el polinomio de Taylor muestra una aproximación de una función f(x) em el punto x0:
de donde se obtiene la aproximación de las derivadas, al seleccionar la cantidad de términos y despejar, como se mostrará a continuación.
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1. Primera Derivada con Diferencias divididas hacia adelante
Una aproximación a primera derivada, usa los primeros dos términos del polinomio de Taylor alrededor de xi en para un punto a la derecha xi+1 a una distancia h = xi+1-xi
se puede simplificar en un polinomio de grado uno y un término de error:
f_{i+1} = f_i + (h)f'_i + O(h^2) ...Despejando la expresión para f'i
f'_i = \frac{f_{i+1}-f_i}{h} = \frac{\Delta f_i}{h}
La expresión también es la primera diferencia finita dividida con un error del orden O(h). (tema usado en interpolación).
Revise que el término de la expresión queda O(h2)/h con lo que se disminuye el exponente en uno.
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2. Primera derivada con diferencias divididas centradas
Se realiza el mismo procedimiento que el anterior, usando un punto xi+1 y xi-1 alrededor de xi. En el término xi-1 el valor de h es negativo al invertir el orden de la resta.
restando la ecuaciones se tiene que
f_{i+1} - f_{i-1} = (h)f'_i +(h)f'_i f_{i+1} - f_{i-1} = 2h f'_iLa expresión de primera derivada usando un punto antes y otro después del punto central queda como:
f'_i = \frac{f_{i+1} - f_{i-1}}{2h}con un error del orden O(h2)
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3. Algoritmo en Python
Compara las diferencias divididas hacia adelante, centro y atrás.
El punto xk para la derivada se encuentra en la posición i , de dónde se toman para el cálculo los puntos xi hacia la izquierda o derecha .
Se requieren al menos 2 tramos para usar las fórmulas, para disponer de un valor de h dentro del intervalo.
Para observar el error en la gráfica, se incorpora f'(x) obtenida de forma analítica como referencia en el ejercicio.
El resultado del algoritmo es:
diferenciación numérica: en xk: 1.5 , h: 0.5 tramos: 4 [ dfx/dx, valor, error] ['df_analítica', 0.4938606479864909, 0] ['df_atras', 0.7604117685484817, 0.2665511205619908] ['df_centro', 0.4444697684399397, -0.04939087954655119] ['df_adelante', 0.12852776833139767, -0.3653328796550932]
Instrucciones en Python
# Diferenciación Numérica - 1ra Derivada # Compara con diferenciación numérica import numpy as np # INGRESO fx = lambda x: np.sqrt(x)*np.sin(x) dfx = lambda x: np.sin(x)/(2*np.sqrt(x))+ np.sqrt(x)*np.cos(x) xk = 1.5 # punto derivada a = 1 # intervalo de observación b = 3 tramos = 64 # >=2, al menos 2 tramos # PROCEDIMIENTO # revisa valores, Tarea: incluir en algoritmo cond1 = a<b cond2 = a<xk and xk<b cond3 = tramos>=2 if not(cond1): print('a>b, no es ascendente') if not(cond2): print('ak fuera de intervalo [a,b]') if not(cond3): print('tramos deben ser al menos 2') # tramo menor hacia atras y adelante dx_atras = abs(xk-a) # xk hacia atras intervalo dx_adelante = abs(xk-b) # xk hacia frente intervalo dx_min = min(dx_atras,dx_adelante) h_tramo = (b-a)/tramos h = min(h_tramo,dx_min) xi_atras = np.sort(np.arange(xk,a-h/2,-h)) xi_adelante = np.arange(xk,b+h/2,h) xi = np.concatenate((xi_atras,xi_adelante[1:]),axis=0) i = len(xi_atras)-1 # puntos de muestras fi = fx(xi) tabla = [] # tangentes a xi[i] # derivada analítica, como referencia dfi = dfx(xi[i]) px = lambda x: fi[i] + dfi*(x-xi[i]) pxi = px(xi) tabla.append(['df_analítica',dfi,0,pxi,px]) # hacia Atras, diferencias divididas df1_atras = (fi[i]-fi[i-1])/h px = lambda x: fi[i] + df1_atras*(x-xi[i]) pxi = px(xi) errado = df1_atras - dfi tabla.append(['df_atras',df1_atras,errado,pxi,px]) # Centro, diferencias divididas df1_centro = (fi[i+1]-fi[i-1])/(2*h) px = lambda x: fi[i] + df1_centro*(x-xi[i]) pxi = px(xi) errado = df1_centro - dfi tabla.append(['df_centro',df1_centro,errado,pxi,px]) # hacia Adelante, diferencias divididas df1_adelante = (fi[i+1]-fi[i])/h px = lambda x: fi[i] + df1_adelante*(x-xi[i]) pxi = px(xi) errado = df1_adelante - dfi tabla.append(['df_adelante',df1_adelante,errado,pxi,px]) # SALIDA print('diferenciación numérica:') print('en xk:',xk,'\t, h:',h,) print(' tramos:', tramos) print('[ dfx/dx, valor, error]') for unadifdiv in tabla: print(unadifdiv[0:3])
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3.1Gráficas en Python
Se complementa el algoritmo anterior con las siguientes instrucciones.
# GRAFICA -------------- import matplotlib.pyplot as plt txt = 'Diferenciación Numérica' txt = txt + ', xi:'+str(xk) txt = txt + ', tramos:'+str(tramos) titulo = txt + ', h:'+str(h) # fx suave aumentando muestras muestrasfxSuave = tramos*10 + 1 xk = np.linspace(a,b,muestrasfxSuave) fk = fx(xk) # Graficar f(x), puntos plt.ylim(min(fk),max(fk)*1.5) plt.plot(xk,fk, label ='f(x)',linestyle='dotted') if tramos<64: plt.plot(xi,fi, 'o') # muestras for unadifdiv in tabla: # tangentes a xi[i] linea = 'dashed' if unadifdiv[0]=='df_analítica': linea = 'solid' plt.plot(xi,unadifdiv[3],label=unadifdiv[0], linestyle=linea) plt.plot(xi[i],fi[i],'ro') # punto i observado plt.xlabel('xi') plt.ylabel('f(xi)') plt.title(titulo) plt.legend() plt.tight_layout() plt.show()
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Segundas derivadas
Al continuar con el procedimiento mostrado se pueden obtener las fórmulas para segundas derivadas, las que se resumen en las tablas de Fórmulas de diferenciación por diferencias divididas.
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