5.8 Integral y Derivada de f(x), expresiones con Sympy

[ Derivadas f(x) ] [ Derivadas Sin Evaluar ] [ Integral definido [a,b] ] [ Integral Indefinida ]

1. Funciones de prueba

Para los ejemplos se usan f(x) de variable independiente 'x', y constantes 'a' y 'b'

f(x) = a \cos(x)

f(x) =a e^{-3x}

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..

2. Derivadas de f(x) con Sympy

Las expresiones de la derivada se obtienen con la expresión fx.diff(x,k), indicando la k-ésima derivada de la expresión.

f(x): a*exp(-3*x)
f(x) con sym.pprint:
   -3⋅x
a⋅ℯ    

 df/dx: -3*a*exp(-3*x)
df/dx con sym.pprint:
      -3⋅x
-3⋅a⋅ℯ    

 d2f/dx2: 9*a*exp(-3*x)
d2f/dx2 con sym.pprint:
     -3⋅x
9⋅a⋅ℯ

Instrucciones en Python

# derivadas de f(x) expresiones Sympy
import sympy as sym
# INGRESO
a = sym.Symbol('a') # constantes sin valor
b = sym.Symbol('b')
x = sym.Symbol('x',real=True) # variable independente

#fx = a*sym.cos(x)
fx = a*sym.exp(-3*x)

#PROCEDIMIENTO
dfx = fx.diff(x,1)
d2fx = fx.diff(x,2)

# SALIDA
print('f(x):',fx)
print('f(x) con sym.pprint:')
sym.pprint(fx)

print('\n df/dx:',dfx)
print('df/dx con sym.pprint:')
sym.pprint(dfx)

print('\n d2f/dx2:',d2fx)
print('d2f/dx2 con sym.pprint:')
sym.pprint(d2fx)

Referencia: https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/calculus.html#derivatives

Ejemplos:

Polinomio de Taylor – Ejemplos con Sympy-Python

Sistemas LTI CT – Respuesta a entrada cero con Sympy-Python

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2. Derivadas sin evaluar df(x)/dx con Sympy

Cuando se requiere expresar tan solo la operación de derivadas, que será luego usada o reemplazada con otra expresión, se usa la derivada sin evaluar. Ejemplo:

y = \frac{d}{dx}f(x)

Para más adelante definir f(x).

En Sympy, la expresión de y se realiza indicando que f será una variable

x = sym.Symbol('x', real=True)
f = sym.Symbol('f', real=True)
y = sym.diff(f,x, evaluate=False) # derivada sin evaluar
g = sym.cos(x) + x**2
yg = y.subs(f,g).doit() # sustituye f con g y evalua .doit()

>>> y
Derivative(f, x)
>>> g
x**2 + cos(x)
>>> yg
2*x - sin(x)

Ejemplos:

EDP Parabólica – analítico con Sympy-Python

EDP Elípticas – analítico con Sympy-Python

EDO lineal – solución complementaria y particular con Sympy-Python

EDO lineal – ecuaciones auxiliar, general y complementaria con Sympy-Python

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3. Integrales definida de f(x) con Sympy

Sympy incorpora la operación del integral en sus expresiones, que pueden ser integrales definidas en un intervalo o expresiones sin evaluar.

>>> import sympy as sym
>>> t = sym.Symbol('t',real=True)
>>> fx = 10*sym.exp(-3*t)
>>> fx
10*exp(-3*t)
>>> y = sym.integrate(fx,(t,0,10))
>>> y
10/3 - 10*exp(-30)/3
>>> y = sym.integrate(fx,(t,0,sym.oo))
>>> y
10/3

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..

4. Integrales Indefinida de f(x) con Sympy

La operación se puede realizar con sym.integrate(fx,x), la expresión obtenida no añade la constante.

# integral f(x) eindefinido xpresiones Sympy
import sympy as sym
# INGRESO
a = sym.Symbol('a') # constantes sin valor
b = sym.Symbol('b')
c = sym.Symbol('c')
x = sym.Symbol('x',real=True) # variable independente

#fx = a*sym.cos(x)
fx = a*sym.exp(-3*x)

#PROCEDIMIENTO
y = sym.integrate(fx,x) + c

# SALIDA
print('f(x):',fx)
print('f(x) con sym.pprint:')
sym.pprint(fx)

print('\n y:',y)
print('y con sym.pprint:')
sym.pprint(y)

con el siguiente resultado:

f(x): a*exp(-3*x)
f(x) con sym.pprint:
   -3⋅x
a⋅ℯ    

 y: -a*exp(-3*x)/3 + c
y con sym.pprint:
     -3⋅x    
  a⋅ℯ        
- ─────── + c
     3

Referencia: https://docs.sympy.org/latest/modules/integrals/integrals.html

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