1. EDO \frac{\delta y}{\delta x} con Runge-Kutta

Referencia: Burden 5.4 p209, Chapra 25.3 p740, Rodríguez 9.1.7 p354, Boyce DiPrima 4Ed 8.4 p450

Para una ecuación diferencial ordinaria de primera derivada, el método Runge-Kutta de 2do Orden usa una corrección sobre la derivada a partir de los puntos xi y xi+h,  es decir un tamaño de paso h hacia adelante, calculados como términos K₁ y K₂.

Considere una ecuación diferencial de primera derivada con una condición de inicio se reordena y se escribe como f(x,y) siguiendo los pasos:

Los términos K₁ y K₂ se calculan para predecir el próximo valor en y[i+1], observe que el término K₁ es el mismo que el método de Edo con Taylor de dos términos.

Runge-Kutta 2do Orden tiene error de truncamiento O(h³)

Las iteraciones se repiten para encontrar el siguiente punto en x[i+1] como se muestra en el gráfico animado.

Los métodos de Runge-Kutta  mejoran la aproximación a la respuesta de la ecuación diferencial ordinaria sin requerir determinar las expresiones de las derivadas de orden superior, como fue necesario en EDO con Taylor.

Para observar al idea básica, considere observar un combate aéreo simulado en la década de 1940, donde las armas se encuentras fijas en las alas del avión. Observe dos minutos del video sugerido a partir de donde se encuentra marcado el enlace.

Video Revisar:

Luego de observar el video de introducción conteste las siguientes preguntas:
¿ Que trayectoria siguen los proyectiles al salir del cañón?
¿ Que trayectoria siguen los aviones, el perseguido y el que caza?
¿ Cuál es la relación entre las trayectorias de los dos aviones?

2. Ejercicio

Referencia: Rodríguez 9.1.1 ejemplo p335. Chapra 25.1.3 p731

Se pide encontrar puntos de la solución en la ecuación diferencial usando los tres primeros términos de la serie de Taylor con h=0.1 y punto inicial x₀=0, y₀=1

3. Desarrollo Analítico

Se reordena la expresión haciendo que la derivada se encuentre en el lado izquierdo:

Se usa las expresiones de Runge-Kutta en orden, K1 corresponde a una corrección de EDO con Taylor de dos términos (método de Euler). K2 considera el cálculo a un tamaño de paso más adelante. iteración:

Runge-Kutta 2do Orden tiene error de truncamiento O(h³)

para el ejercicio, el tamaño de paso h=0.1, se realizan tres iteraciones en las actividades del curso con lápiz y papel,

itera = 0 , x₀ = 0, y₀ = 1

itera = 1 , x₁ = 0.1, y₁ = 1.2145

itera = 2 , x₂ = 0.2, y₂ = 1.4599

luego de las 3 iteraciones en papel, se completan los demás puntos con el algoritmo obteniendo la gráfica resultante para y(x) correspondiente.

EDO dy/dx con Runge-Kutta 2 Orden
i, [xi,     yi,     K1,    K2]
0 [0. 1. 0. 0.]
1 [0.1    1.2145 0.2    0.229 ]
2 [0.2      1.459973 0.23045  0.260495]
3 [0.3      1.73757  0.261997 0.293197]
4 [0.4      2.048564 0.294757 0.327233]
5 [0.5      2.394364 0.328856 0.362742]
>>>

Compare los resultados con Taylor de 2 y 3 términos.

Runge-Kutta 2do Orden tiene error de truncamiento O(h³)

4. Algoritmo en Python

Para el ejercicio anterior, se adjunta el programa de prueba que usa la función rungekutta2(d1y,x0,y0,h,muestras) .

Las iteraciones y sus valores se pueden observar usando vertabla=true

# EDO dy/dx. M todo de RungeKutta 2do Orden 
# estima la solucion para muestras espaciadas h en eje x
# valores iniciales x0,y0, entrega tabla[xi,yi,K1,K2]
import numpy as np

def rungekutta2(d1y,x0,y0,h,muestras,
                vertabla=False,precision=6):
    '''solucion a EDO dy/dx, con Runge Kutta de 2do orden
    d1y es la expresi n dy/dx, tambien planteada como f(x,y),
    valores iniciales: x0,y0, tama o de paso h.
    muestras es la cantidad de puntos a calcular. 
    '''
    tamano = muestras + 1
    tabla = np.zeros(shape=(tamano,2+2),dtype=float)
    tabla[0] = [x0,y0,0,0] # incluye el punto [x0,y0]
    
    xi = x0 # valores iniciales
    yi = y0
    for i in range(1,tamano,1):
        K1 = h * d1y(xi,yi)
        K2 = h * d1y(xi+h, yi + K1)

        yi = yi + (K1+K2)/2
        xi = xi + h
        
        tabla[i] = [xi,yi,K1,K2]
       
    if vertabla==True:
        np.set_printoptions(precision)
        print( 'EDO dy/dx con Runge-Kutta 2 Orden')
        print('i, [xi,     yi,     K1,    K2]')
        for i in range(0,tamano,1):
            print(i,tabla[i])

    return(tabla)

# PROGRAMA PRUEBA -------------------

# INGRESO
# d1y = y' = f
d1y = lambda x,y: y -x**2 + x + 1
x0 = 0
y0 = 1
h  = 0.1
muestras = 5

# PROCEDIMIENTO
tabla = rungekutta2(d1y,x0,y0,h,muestras,
                    vertabla=True)
xi = tabla[:,0]
yiRK2 = tabla[:,1]

# SALIDA
#print(' [xi, yi, K1, K2]')
#print(tabla)

5. Gráfica

# GRAFICA
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(xi,yiRK2)
plt.plot(xi[0],yiRK2[0],
         'o',color='r', label ='[x0,y0]')
plt.plot(xi[1:],yiRK2[1:],
         'o',color='m',
         label ='[xi,yi] Runge-Kutta')
plt.title('EDO dy/dx: Runge-Kutta 2do Orden')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

6. Cálculo de Error con la solución conocida

La ecuación diferencial ordinaria del ejercicio tiene una solución conocida, lo que permite encontrar el error real en cada punto respecto a la aproximación estimada.

Note que el error crece al distanciarse del punto inicial.

Error máximo estimado:  0.004357584597315167
entre puntos: 
[0.         0.00067092 0.00143026 
 0.0022892  0.00326028 0.00435758]
>>>

Para las siguientes instrucciones, comente la última línea #plt.show() antes de continuar con:

# ERROR vs solución conocida -----------------
y_sol = lambda x: ((np.e)**x) + x + x**2

yi_psol  = y_sol(xi)
errores  = yi_psol - yiRK2
errormax = np.max(np.abs(errores))

# SALIDA
print('Error máximo estimado: ',errormax)
print('entre puntos: ')
print(errores)

# GRAFICA [a,b+2*h]
a = x0
b = h*muestras+2*h
muestreo = 10*muestras+2
xis = np.linspace(a,b,muestreo)
yis = y_sol(xis)

plt.plot(xis,yis, label='y solución conocida',
         linestyle='dashed')
plt.legend()
plt.show()