3ra Evaluación – Página 2 – Métodos numéricos

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3Eva_2023PAOI_T4 Especies en competencia por recursos

3ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 12/Septiembre/2023

Tema 4. (30 puntos) Considere dos especies de animales que ocupan el mismo ecosistema, en competencia por los recursos de alimentos y espacio definidas por:

\frac{dx}{dt} = x(2 - 0.4 x - 0.3 y)

\frac{dy}{dt} = y( 1 - 0.1 y - 0.3 x)

Donde las poblaciones de x(t) y y(t) se miden en miles y t en años. Use un método numérico para analizar las poblaciones en un periodo largo para el caso que: x(0)=1.5, y(0)=3.5

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b. Desarrolle tres iteraciones para x(t), y(t) con tamaño de paso h=0.5.

c. Usando el algoritmo, aproxime la solución entre t=0 a t=10 años, adjunte sus resultados en la evaluación.

d. Realice una observación sobre el crecimiento de la población de las especies y(t) a lo largo del tiempo.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: [1] Modelos de competencia ejercicio 10. Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Edición 9. P109. p111.

[2] Competition in ecosystems. Stile Education. 11 septiembre 2019.

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3Eva_2023PAOI_T3 Perfil de área devastada por incendios

3ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 12/Septiembre/2023

3Eva_2023PAOI_T2 Área devastada por incendios

Tema 3. (20 puntos) Continuando con el ejercicio del área devastada por el incendio, con el objetivo de simplificar el registro de datos se propone describir los perfiles usando polinomios.

Frontera superior

X	350	300	350	420	444	484	504	534	568	620	660	720	780	740	800	800
Y	0	315	315	315	320	336	400	415	462	510	550	550	490	390	390	150

Frontera inferior

X	350	459	666	800
Y	0	63	130	150

a. Plantear el ejercicio para realizar interpolación polinómica. Describa criterios, intervalos, método.

b. Desarrolle el o los polinomios para la frontera superior, siguiendo el método propuesto en el literal a.

c. Desarrolle el o los polinomios para la frontera inferior, con un método diferente al literal a.

d. Usando un algoritmo, graficar al menos un resultado del literal b y c.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

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3Eva_2023PAOI_T2 Área devastada por incendios

3ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 12/Septiembre/2023

Tema 2 (25 puntos) Se requiere determinar el área urbana a restaurar, que devastada por incendios en una isla del océano Pacífico, se encuentra delimitada por la playa y los puntos mostrados en la figura.

Se dispone de algunos puntos de referencia tomados desde imágenes de satélites mostrados en la tabla.

a. Plantear el ejercicio indicando el método de integración numérica a usar. Justifique su selección.

b. Desarrolle el método para los datos de la frontera superior

c. Realice los cálculos para la frontera inferior delimitada por playa

d. Estime la cota de error en los cálculos.

Frontera superior

X	350	300	350	420	444	484	504	534	568	620	660	720	780	740	800	800
Y	0	315	315	315	320	336	400	415	462	510	550	550	490	390	390	150

Frontera inferior

X	350	459	666	800
Y	0	63	130	150

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

xs = [350, 300, 350, 420, 444, 484, 504, 534, 568, 620, 660, 720, 780, 740, 800, 800]
fs = [0, 315, 315, 315, 320, 336, 400, 415, 462, 510, 550, 550, 490, 390, 390, 150]
xi = [350, 459, 666, 800]
fi = [0, 63, 130, 150]

Referencia: Incendios forestales devastan partes de la isla de Maui. DW español. 11 agosto 2023.

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3Eva_2023PAOI_T1 Matriz cadena de Markov

3ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 12/Septiembre/2023

Tema 1 (25 puntos) Un call-center para soporte técnico de una mediana empresa se conforma de una recepcionista y dos técnicos. Se considera como “satisfecho” al cliente si su llamada fue procesada por la recepcionista y cualquiera de los técnicos.

La probabilidad P_RT de atención a llamadas se modelan con un sistema de ecuaciones (cadena de Markov) que al ser resuelta muestra probabilidad de encontrarse en cada estado.

λ P₀₀ = μ_T P₀₁

(μ_T + λ) P₀₁ = 2 μ_T P₀₂ + μ_R P₁₀

(2 μ_T + λ) P₀₂ = μ_R P₁₁ + μ_R P₁₂

μ_R P₁₀ = λ P₀₀ + μ_T P₁₁

(μ_R + μ_T) P₁₁ = λ P₀₁ + 2 μ_T P₁₂

(μ_R + 2 μ_T) P₁₂ = λ P₀₂

La suma de probabilidades es uno.

P₀₀ + P₀₁ + P₀₂ + P₁₀ + P₁₁+ P₁₂ = 1

λ = 1/10, μR = 1/3, μT =1/15

Los estados descritos en la gráfica y ecuaciones expresan el proceso de atención:
– En una llamada, los clientes son atendidos por la recepcionista que toma los datos y redirige la llamada a uno de los técnicos disponible (libre).
– Si un cliente llama mientras la recepcionista está ocupada, el cliente recibe tono de ocupado y cierra.
– Si ambos técnicos están disponibles, se selecciona uno con igual probabilidad.
– Si solo hay un técnico disponible, se le asigna la llamada.
– Si los dos técnicos están ocupados, se pierde la llamada.

Los tiempos de atención y llamadas siguen distribuciones exponenciales: recepcionista es de 3 minutos (μR = 1/3), por técnico es de 15 minutos (μT =1/15). Los clientes llaman a intervalos de 10 minutos (λ = 1/10).

a. Plantee el sistema de ecuaciones, reemplazando la última ecuación con la que indica que la suma de probabilidades por cada estado P_RT suma 1.

b. Establezca la forma matricial del sistema de ecuaciones y como matriz aumentada

c. De ser necesario realice el pivoteo parcial por filas.

d. Comente sobre la convergencia del sistema de ecuaciones y justifique sus observaciones usando los errores entre iteraciones o número de condición.

e. Use un método directo, realizando al menos 3 iteraciones con todas las expresiones.

Rúbrica: literal a (2 puntos), literal b (5 puntos), literal c (3puntos), literal d (5 puntos), literal e (10 puntos).

Referencia: [1] 1Eva_IT2017_T3 Call Center Operadora y Dos Técnicos. ESTG1003-Blog de procesos estocásticos. http://blog.espol.edu.ec/estg1003/1eva_it2017_t3-call-center-operadora-y-dos-tecnicos/
[2] Cadenas de Markov 01 Introducción. Goal Project. 30 agosto 2021.

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3Eva_2022PAOII_T4 Recesión económica, PIB y diferenciación numérica

3ra Evaluación 2022-2023 PAO II. 7/febrero/2023

Tema 4. (20 puntos) Las recesiones económicas se caracterizan por presentar una disminución del consumo, de la inversión y de la producción de bienes y servicios. Lo cual provoca, a su vez, que se despidan trabajadores y por tanto, aumente el desempleo. La recesión es también conocida como el periodo de «vacas flacas».

La opinión emitida por Julius Shiskin en un artículo publicado el 28 de agosto de 1975 en el diario New York Times en torno a dos trimestres consecutivos de caída del PIB como plazo definitorio para el considerar una recesión.

a. Plantee y describa los métodos de diferenciación numérica que usen dos y tres puntos para primera derivada.

b. Realice tres iteraciones con los métodos numéricos seleccionados. Describa el tamaño de paso usado en cada método.

c. Compare los resultados del literal anterior y escriba sus observaciones respecto a las cotas de error.

d. Determine los periodos de “recesión económica” para los datos proporcionados entre el año 2012 y 20122. Liste acorde a lo definido por J. Shiskin. Use los algoritmos y adjunte los archivos usados (py,txt,png).

trimestres = ['2012.I', '2012.II', '2012.III', '2012.IV',
 '2013.I', '2013.II', '2013.III', '2013.IV', '2014.I',
 '2014.II', '2014.III', '2014.IV', '2015.I', '2015.II',
 '2015.III', '2015.IV', '2016.I', '2016.II', '2016.III',
 '2016.IV', '2017.I', '2017.II', '2017.III', '2017.IV',
 '2018.I', '2018.II', '2018.III', '2018.IV', '2019.I',
 '2019.II', '2019.III', '2019.IV', '2020.I', '2020.II',
 '2020.III', '2020.IV', '2021.I', '2021.II', '2021.III',
 '2021.IV', '2022.I', '2022.II', '2022.III']

PIB trimestral = [21.622937, 21.908844, 22.106937,
 22.285826, 23.019786, 23.441324, 24.238576, 24.429973,
 24.829431, 25.540887, 25.9404, 25.415613, 25.052739,
 25.086195, 24.779738, 24.371709, 24.913573, 24.926186,
 24.910741, 25.187196, 26.000261, 25.99355, 25.960907,
 26.341144, 26.510612, 26.761827, 27.078404, 27.211165,
 26.914897, 27.058331, 27.054758, 27.080023, 26.314576,
 23.110752, 24.64388, 25.221916, 25.412756, 26.20682,
 26.828611, 27.717679, 28.372038, 28.74092, 29.334581]

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (9 puntos). literal c(3 puntos) literal d (5 puntos)

Referencia: Recesión económica. Wikipedia. https://es.wikipedia.org/wiki/Recesi%C3%B3n
Recesión económica. economipedia. https://economipedia.com/definiciones/recesion-economica.html

Boletín de Cuentas Nacionales Trimestrales No. 121, valores constantes USD 2007 y corrientes, período : 2000.I – 2022.IIIIT Banco Central del Ecuador (2022) https://contenido.bce.fin.ec/documentos/PublicacionesNotas/Catalogo/CuentasNacionales/Indices/c121122022.htm

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3Eva_2022PAOII_T3 EDO cabezal lector en disco duro

3ra Evaluación 2022-2023 PAO II. 7/febrero/2023

Tema 3. (35 puntos) El objetivo de un sistema de Disco duro es posicionar con precisión el dispositivo de lectura en la pista buscada y moverse entre una pista y otra.

Se requiere identificar el plato de disco, el sensor y el controlador.

El disco duro usa un motor DC de imán permanente para posicionar el brazo lector con el sensor en un extremo. Un resorte metálico se usa para permitir que el cabezal flote sobe el disco a una distancia menor a 100nm.

El cabezal toma lectura del flujo magnético y da una señal al amplificador.

Suponiendo que dispone del dispositivo de lectura de precisión, una aproximación del modelo de control del motor con K_a=40, se supone que el brazo es rígido con parámetros como los mostrados, el sistema se puede aproximar como un sistema de orden 2 en el dominio s o en su forma de ecuación diferencial.

Y(s)(s^2+20s+5K_a )=X(s)5K_a

\frac{\delta^2}{\delta t^2 } y(t) + 20 \frac{\delta}{\delta t} y(t) + 5 K_a y(t) = x(t) 5 K_a

y(0) = 0 y’(0) = 0

x(t) = \begin{cases} 0 & t\lt 0 \\ 1 & t≥0 \end{cases}

Encuentre la respuesta del sistema y(t) ante una señal de entrada x(t), con las condiciones iniciales dadas.

a. Plantee la solución usando el método de Runge-Kutta de 2do orden.
b. Desarrolle tres iteraciones para Δt = 0.01
c. Estime el error del modelo usado
d. Realice la gráfica para y(t) para el intervalo de [0,1] segundos. Adjunte los archivos de los algoritmos.py usados para los cálculos, los resultados.txt y gráfica.png

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos), literal d y adjuntos (10 puntos)

Referencia: Bishop R. & Dorf R. (2017) 13th Edition. 2.10 sequential Design example: Disk Drive read system. p122.
How do Hard Disk Drives Work? Branch Education. 22 diciembre 2022.

2023-02-072023-02-11

3Eva_2022PAOII_T2 Globo meteorológico espía distancia mas cercana

3ra Evaluación 2022-2023 PAO II. 7/febrero/2023

Tema 2. (20 puntos) Se requiere hacer el seguimiento a la trayectoria del globo aerostático del tema anterior, para descartar las sospechas de espionaje.

Dadas las coordenadas de un lugar considerado como de seguridad nacional p1(x,y)=[25,50] , se requiere revisar la distancia más cercana de la trayectoria y(x) del globo al punto de “interés”.

Se compararía la distancia mínima con el alcance las cámaras y sensores encontrados en los escombros del globo derribado.

Usando la trayectoria obtenida como resultado del tema anterior, se requiere:

a. Plantee el ejercicio describiendo los criterios usados, el método numérico y una tolerancia a usar.

b. Desarrolle el método para encontrar la raíz de la ecuación planteada, con al menos tres iteraciones.

c. Estime la cota de error, compare con la tolerancia descrita en el literal a.

Nota: Si el resultado del tema 1 no es satisfactorio, desarrolle el tema con y(x) = 70sin(0.1πx+0.5)

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos)

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3Eva_2022PAOII_T1 Globo meteorológico espía derribado

3ra Evaluación 2022-2023 PAO II. 7/febrero/2023

Tema 1. (25 puntos) En enero del 2023 se detectó un globo aerostático supuestamente espía sobre el territorio soberano de un país, que sobrevoló a 18 Km de altura en la estratosfera y que «no representaba ningún riesgo militar o físico los ciudadanos en la superficie».

Otro país vecino al mismo tiempo hacía seguimiento a otro «posible segundo incidente», se anunció en los medios de comunicación. En el primer caso se decidió no destruir el aparato por el temor de que la caída de sus escombros podría haber sido peligrosa para la superficie y no representaba el globo un peligro inmediato.

Como seguimiento al caso, se requiere describir la trayectoria del globo mediante ecuaciones a partir de las coordenadas de avistamiento reportadas por civiles.

ti    = [11, 12, 14, 15, 17, 19]
x(ti) = [15, 18, 25, 27, 31, 40]
y(ti) = [45, 55, 65, 58, 55, 40]

a. Plantear el ejercicio, describiendo los criterios, método numérico, segmentos a usar en las ecuaciones para realizar la interpolación polinómica de Lagrange.

minimizando oscilaciones del polinomio que puedan resultar en interpretaciones erradas.

b. Realizar el desarrollo analítico de las ecuaciones planteadas y presente el polinomio simplificado.

c. Validar los resultados usando el algoritmo, adjunte los archivos.py, resultados.txt, gráfica.png

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (10 puntos)

Referencias: Detectan un globo aerostático espía sobre territorio. Rtve.es/Agencias 03/febrero/2023. https://www.rtve.es/noticias/20230203/eeuu-detecta-globo-aerostatico-espia-china-sobre-su-territorio/2420646.shtml

Derriban globo «espía» sobre la costa del Atlántico. DW 04/febrero/2023. https://www.dw.com/es/eeuu-derriba-globo-esp%C3%ADa-chino-sobre-la-costa-del-atl%C3%A1ntico/a-64613403

EE.UU. derriba el presunto globo espía de China. CNN en Español. 4 feb 2023.

Globos chinos en América desatan preocupación mundial. DW Español
DW Español. 10 feb 2023

2022-09-152022-09-15

3Eva_2022PAOI_T3 EDO Modelo de selección híbrida

3ra Evaluación 2022-2023 PAO I. 13/Septiembre/2022

Tema 3. (35 puntos) En genética, el modelo de selección híbrida representa la porción de la población que tiene ciertas características a lo largo del tiempo medido en generaciones (h=1).

Para una población de escarabajos, la rapidez de transferencia que una característica D pasa de una generación a la siguiente está dada por:

\frac{d}{dt}y(t) = k(1-y(t))(a-by(t))

Las constantes a, b y k dependen de las características genéticas estudiadas.

Al inicio del estudio, t=0, se encuentra que la mitad de la población tiene la característica D, y(0)=0.5. El factor k=0.26 considera la trasferencia al combinarse los especímenes “Sin D” y “con D”. Use los valores de a=2 y b=1.

a) Realice el planteamiento del problema de la Ecuación Diferencial Ordinaria usando el método de Runge-Kutta de 4to Orden

b) Desarrolle al menos tres iteraciones usando las expresiones completas.

c) estime la cota de error de la solución.

d) Adjunte el desarrollo completo usando un algoritmo con Python para las próximas 10 generaciones. tabla y gráfica.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), gráfica(5puntos)

Referencias: Larson. Cálculo aplicado, 7ma Ed. Apéndice C, ejemplo 4. https://college.cengage.com/mathematics/larson/calculus_applied/7e/students/appendices/appendix_c04.pdf
Los mecanismos del cambio. https://www.sesbe.org/evosite/evo101/IIIBMechanismsofchange.shtml.html

2022-09-152022-09-15

3Eva_2022PAOI_T2 Perfil de sendero en montaña

3ra Evaluación 2022-2023 PAO I. 13/Septiembre/2022

Tema 2. (30 puntos) Una persona al recorrer un sendero de ascenso a una montaña, registra en la tabla mostrada, la distancia horizontal desde el punto de partida y la altura del nivel del mar.

Para resumir los datos del perfil de elevación en el sendero en la montaña, se prefiere una descripción mediante un polinomio de interpolación.

a) Plantear el o los polinomios de interpolación para las muestras presentadas para todo el intervalo de la tabla. Indique los criterios usados para el grado del polinomio y los puntos seleccionados que minimicen las distorsiones posibles por el grado polinomio.

b) Desarrolle las expresiones para los polinomios usando el método de Lagrange. (al menos dos polinomios)

c) Determine el error para el polinomio planteado sobre los datos.

d) Adjunte el desarrollo del ejercicio realizado con el algoritmo en Python.

Recorrido (Km)	0,0	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,2	7,0	8,0	9,0	10,0	11,0
Altura (m)	4315	4447	4559	4692	4884	5201	5366	5310	5249	5175	5034	4787

Rúbrica: Literal a. criterios (6 puntos), literal b, (12 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: Ascensión al Chimborazo (6.268m) Andes de Ecuador. Abril 29,2020. https://carrerasdemontana.com/2020/04/29/ascension-al-chimborazo/ ; El último hielero de Ecuador | DW Documental. 28 jul 2018 https://youtu.be/mESOZvOgs5k

xi = [0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.2,
      7.0, 8.0, 9.0, 10.0, 11.0]
yi = [4315, 4447, 4559, 4692, 4884, 5201, 5366, 
      5310, 5249, 5175, 5034, 4787]