Ejercicio: 1Eva_2025PAOI_T2 Cables de cámara aérea

literal a. matriz aumentada y pivoteo parcial por filas

Las ecuaciones que conforman el sistema de ecuaciones son:

\frac{55}{56.75} T_{AB} - \frac{60}{71.36} T_{AD}=0 \frac{14}{56.75} T_{AB} + \frac{14}{34.93} T_{AC} + \frac{14}{71.36} T_{AD}-490=0 -\frac{32}{34.93} T_{AC} + \frac{36}{71.36} T_{AD}=0

Se reordenan las ecuaciones para la forma A.X=B, con las constantes del lado derecho.

\frac{55}{56.75} T_{AB} - \frac{60}{71.36} T_{AD}=0 \frac{14}{56.75} T_{AB} + \frac{14}{34.93} T_{AC} + \frac{14}{71.36} T_{AD} =490 -\frac{32}{34.93} T_{AC} + \frac{36}{71.36} T_{AD}=0

la matriz A y vector B serán:

A = \begin{pmatrix} \frac{55}{56.75} &0& - \frac{60}{71.36} \\ \frac{14}{56.75} &\frac{14}{34.93} &\frac{14}{71.36} \\ 0 &-\frac{32}{34.93}& \frac{36}{71.36}\end{pmatrix} B =[0,490,0]

Matriz Aumentada

\left( \begin{array}{rrr|r} \frac{55}{56.75} &0& - \frac{60}{71.36} & 0\\ \frac{14}{56.75} & \frac{14}{34.93} & \frac{14}{71.36} &490\\ 0 &-\frac{32}{34.93} & \frac{36}{71.36} & 0\end{array} \right)

Pivoteo parcial por filas

columna = 0, no requiere cambios, la mayor magnitud se encuentra en la diagonal.

columna = 1

\left( \begin{array}{rrr|r} \frac{55}{56.75} &0& - \frac{60}{71.36} & 0\\ 0 &-\frac{32}{34.93} & \frac{36}{71.36} & 0 \\ \frac{14}{56.75} & \frac{14}{34.93} & \frac{14}{71.36} &490\end{array} \right)

literal b. Expresiones para método Jacobi

fila = 0
\frac{55}{56.75} x + 0 y - \frac{60}{71.36} z =0

\frac{55}{56.75} x = \frac{60}{71.36} z x = \frac{60}{71.36} z \left(\frac{1}{\frac{55}{56.75}}\right) x = \frac{60(56.75)}{71.36(55)}z =0.86756 z

fila = 1

0 x -\frac{32}{34.93} y + \frac{36}{71.36} z = 0 -\frac{32}{34.93} y = - \frac{36}{71.36} z y = \frac{36}{71.36} z \left(\frac{1}{\frac{32}{34.93}}\right) y = \frac{36(34.93)}{71.36(32)} z = 0.55067 z/

fila = 2

\frac{14}{56.75} x + \frac{14}{34.93} y + \frac{14}{71.36} z = 490 \frac{14}{71.36} z = 490 -\frac{14}{56.75} x -\frac{14}{34.93} y z = \left( 490 -\frac{14}{56.75} x -\frac{14}{34.93} y \right) \frac{1}{ \frac{14}{71.36}} z = \left( 490 -\frac{14}{56.75} x -\frac{14}{34.93} y \right) \frac{71.36}{14}

expresiones para el método:

x = 0.86756 z y = 0.55067 z z = \left( 490 -\frac{14}{56.75} x -\frac{14}{34.93} y \right) (5.09714)

literal c. Iteraciones Jacobi

Si la cámara tiene un peso de 490, cuelga de 3 cables, en el mejor de los casos cada cable tendría una tensión de 1/3 del peso. Por lo que el vector inicial X0=[490/3,490/3,490/3]

x = 0.86756 z y = 0.55067 z z = \left( 490 -\frac{14}{56.75} x -\frac{14}{34.93} y \right) (5.09714)

itera = 0

X0=[490/3,490/3,490/3]

x = 0.86756 (490/3) = 141.7014 y = 0.55067 (490/3) = 89.9427 z = \left( 490 -\frac{14}{56.75} (490/3) -\frac{14}{34.93} (490/3) \right) (5.09714) z =1958.53

X1 = [141.7014, 89.9427, 1958.5366]

 X1:  [141.7014, 89.9427, 1958.5366]
-X0: -[490/3,    490/3,   490/3    ]
____________________________________
dif:  [21.63185  73.38956 1795.2033 ]
errado = max(abs(diferencia) = 1795.20

itera = 1

x = 0.86756 (1958.5366)=1699.1483 y = 0.55067 (1958.5366)= 1078.51941 z = \left( 490 -\frac{14}{56.75} (141.7014) -\frac{14}{34.93} (89.9427) \right) (5.09714) z=2135.66818

X2= [1699.1483, 1078.51941, 2135.66818]

 X2:  [1699.1483, 1078.51941, 2135.66818]
-X1: -[ 141.7014,   89.9427,  1958.5366 ]
_________________________________________
dif:  [1557.44681  988.57564   177.13155]
errado = max(abs(diferencia) = 1557.44681

itera = 2

x = 0.86756 (2135.66818)=1852.82057 y = 0.55067 (2135.66818)=1176.06153 z = \left( 490 -\frac{14}{56.75} (1699.1483) -\frac{14}{34.93} (1078.51941) \right) (5.09714) z =-1842.33913

X3= [1852.82057, 1176.06153, -1842.33913]

 X3:  [1852.82057, 1176.06153, -1842.33913]
-X2: -[1699.1483,  1078.51941,  2135.66818]
____________________________________________
dif:  [ 153.67227   97.54212 3978.00731]
errado = max(abs(diferencia) = 3978.00731

literal d. convergencia

Se observa que el error aumenta en cada iteración, por lo que el método NO converge.

En la tercera iteración, la Tensión AD es negativa, lo que no tiene sentido en el contexto del ejercicio.

literal e. Número de condición

el número de condición calculado es:

numero de condición: 3.254493400285106

literal f. resultados con algoritmo

los resultados de las iteraciones con el algoritmo son:

Matriz aumentada
[[ 9.6916299e-01  0.0000000e+00 -8.4080717e-01  0.000e+00]
 [ 2.4669603e-01  4.0080160e-01  1.9618834e-01  4.900e+02]
 [ 0.0000000e+00 -9.1611795e-01  5.0448430e-01  0.000e+00]]
Pivoteo parcial:
  1 intercambiar filas:  1 y 2
AB
Iteraciones Jacobi
itera,[X]
     ,errado,|diferencia|
0 [163.33333333 163.33333333 163.33333333]
  nan
1 [ 141.70149   89.94377 1958.53663]
  1795.203299403506 [  21.63185   73.38956 1795.2033 ]
2 [1699.1483  1078.51941 2135.66818]
  1557.446808619277 [1557.44681  988.57564  177.13155]
3 [ 1852.82057  1176.06153 -1842.33913]
  3978.007311178223 [ 153.67227   97.54212 3978.00731]
4 [-1598.33998 -1014.53222 -2234.84654]
  3451.1605418268064 [3451.16054 2190.59375  392.50741]
5 [-1938.86376 -1230.67669  6580.05603]
  8814.902564542654 [ 340.52378  216.14447 8814.90256]
6 [5708.59426 3623.47991 7449.81676]
  7647.458018820763 [7647.45802 4854.1566   869.76074]
7 [  6463.164     4102.43641 -12083.20597]
  19533.02272824792 [  754.56974   478.95649 19533.02273]
8 [-10482.90774  -6653.93333 -14010.51669]
  16946.071746250553 [16946.07175 10756.36974  1927.31073]
9 [-12154.96569  -7715.25738  29272.88595]
  43283.40263645846 [ 1672.05794  1061.32405 43283.40264]
10 [25395.98875 16119.88011 33543.6313 ]
  37550.95443771429 [37550.95444 23835.13748  4270.74536]
11 [ 29101.11715  18471.67771 -62368.45408]
  95912.08538760681 [ 3705.1284   2351.79761 95912.08539]
12 [-54108.38416 -34344.82012 -71832.03755]
  83209.50131084416 [83209.50131 52816.49783  9463.58346]
13 [-62318.61187 -39556.18982 140700.42439]
  212532.4619384469 [  8210.22771   5211.3697  212532.46194]
14 [122066.07854  77480.36788 161670.86502]
  184384.6904047115 [184384.6904  117036.5577   20970.44063]
15 [ 140259.19675   89028.28937 -309281.7495 ]
  470952.61452269484 [ 18193.11821  11547.92149 470952.61452]
16 [-268320.51494 -170314.0828  -355750.33954]
  408579.7116922584 [408579.71169 259342.37218  46468.59004]
No converge,iteramax superado
Metodo de Jacobi
numero de condición: 3.254493400285106
X:  nan
errado: 408579.7116922584
iteraciones: 16

las gráficas de las iteraciones son:

la gráfica de errores por iteración