Metodos de Integracion

• Para resolver la Integrales definidas se usan varios metodos que acontinuacion se los va a nombrar y a explicar, y con ejemplos se los va a ilustrar para qeu el usuario lo entienda mejor.

Como ya se dijo antes para resolver una integral hay que de alguna forma llevar a una integral directa por eso existen estos metodos:

• Regla Generalizada de las Potencias:

Si G es una funcio derivable y n pertenece a los reales menos el -1 entonces la integral de :

∫ ((g(x))ⁿ g ´(x) dx = g(x)^n+1 / (n+1) + C

Es decir si dentro de la integral se encuantra la funcion multiplicada por la derivada de la misma el resultado va a ser la funcion con el exponente que tenga sumado en uno dividida para el exponente sumado en uno mas a la constante.

Ejemplo:

∫x^2 dx = X^3 / 3 +C

∫ Sin ^3(x) cos (x) dx = sin ^4(x)/4 +C

Integracion por Partes:

Este método normalmente se utiliza cuando en una integral existe un producto de funciones.

En este metodo hay que idntificar dos funciones:

• Una Facil de derivar → Se va a llamar U     Esta expresion se deriva
• Una facil de Integrar → Se va a llamar dV  Esta expresion se integra

Y el resultado de la integra es el siguiente:

∫f(x) g(x) dx= UV – ∫VdU

Ejemplo:

∫ ln (x) dx

U = ln (x) ∫dV =∫dx

dU= 1/x dx V= x

∫ ln (x) dx = x ln (x) – ∫ x*(1/x) dx

= x ln (x) – ∫dx

= x ln(x) – x

= x*( ln(x) -1)

Integracion de Funciones Trigonometricas:

a) ∫sin ^m(x)dx ∫cos^m(x) dx

Se uliliza las identidades tirgonometricas dependiendo del indice.

m=Numero impar                    m=Numero  par

sin^2(x) = 1- cos^2(x)                 sin^2(x) = (1- cos(2x))/2

con ^2(x) = 1- sin^2(x)                cos^2(x) = (1+cos(2x))/2

Ejemplo:

∫ sin^3(x) dx = ∫sin ^2(x) sin (x) dx

= ∫ (1-cos^2(x)) sin(x) dx

= ∫sin(x) dx – ∫ cos^2(x) sin (x) dx

(por regla geeralizada de la potencia)

= -cos (x) + cos ^3(x) /3 +C

Integrales racionales:

B.1.El grado del numerador P(x) es mayor que el grado del denominador Q(x)

Realizamos la división de P(x) por Q(x) y llamando C(x) al cociente y R(x) al resto se ha de cumplir que:

P(x)=Q(x)C(x)+R(x)

Si R(x)=0 la división es exacta y si es distinto de cero el grado de R(x) será menor que el grado de Q(x). Dividiendo la igualdad anterior por Q(x), tenemos:

La integral se descompone en dos:

Si la división es exacta, la integral ha quedado reducida a una inmediata de tipo potencial, si no lo es actuaremos como se explicará en el caso B.3.

B.2. El grado de P(x) es igual al grado de Q(x):

Entonces el cociente es una constante y la integral queda reducida a:

La 1* inmediata y la segunda la estudiaremos en el caso B.2.

B.3. El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x):

Seguimos el siguiente proceso:

• Obtenemos las raíces del polinomio denominador Q(x).y éstas pueden ser:

B.3.1. Raíces reales simples.

B.3.2. Raíces reales múltiples.

B.3.3. Raíces complejas simples.

B.3.4. Raíces complejas múltiples.

B.3.1. Raíces reales simples:

a) Podemos poner la integral racional así:

b) Descomponemos P(x)/Q(x) en fracciones simples de la forma:

c) Obtenemos los coeficientes A_i expresando ambos miembros de la igualdad anterior en común denominador que será Q(x) y utilizando el método de identificación de coeficientes o dando valores a arbitrarios a x y resolviendo el sistema de ecuaciones que resulte.

d) Integramos el segundo miembro en el que todas las integrales que aparecen son inmediatas de tipo logaritmo neperiano.

Ejemplo:

Hacemos:

Quedando la integral:

En funciones trigonométricas:

Para integrales del tipo

Sustitución	Cálculo de los elementos
Si R(sen x, cos x) es impar en sen x Hacemos cos x=t
Si R(sen x, cos x) es impar en cos x Hacemos sen x=t
Si R(sen x, cos x) es par en sen x y cos x hacemos tg x=t
Si R(sen x, cos x) no cumple ninguna de las características anteriores hacemos