Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Sea $\theta\in [0,2\pi]$ fijo y $T:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ la transformación lineal cuya matriz en la base canónica es:$A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array}\end{pmatrix}$entonces $T$ es invertible.

b. Sea $\{u_1,u_2,...,u_k\}$ un conjunto de vectores linealmente independientes y sea $S$ el subespacio generado por dicho conjunto. Si $v\notin S$, entonces el conjunto $\{u_1,u_2,...,u_k,v\}$ también es un conjunto linealmente independiente.

c. Se sabe que las transformaciones lineales $T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ y $S:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ son no nulas y satisfacen que $S$ es inyectiva y $Nu(T\circ S)=\mathbb{R}^2$. Por ello, la nulidad de $T$ es $3$.

d. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real de $a$$\left\{\begin{aligned} -2x+y-z&=ax \\ -x-y&=ay \\ y-3z&=az \end{aligned}\right.$