Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real de $a$$\left\{\begin{aligned} -2x+y-z&=ax \\ -x-y&=ay \\ y-3z&=az \end{aligned}\right.$

b. Sean $V$ un espacio vectorial, sobre un campo $\mathbb{K}$, con producto interno y $v_1,v_2\in V$ dos vectores no nulos. Si $v_1$ y $v_2$ son dos vectores ortogonales, entonces $[v_1,v_2]$ es un conjunto linealmente independiente de $V$.

c. Si $A$ es una matriz $2\times 2$ y $p(\lambda)$ es su polinomio característico, entonces $p(\lambda)=\lambda^2-(Traza\;A)\lambda+det(A)$.

d. Sean $V$ un espacio vectorial, con producto interno, $u$, $v$ dos vectores cualesquiera en $V$, si $\lVert u\rVert=\lVert v\rVert$, entonces $u+v$ es ortogonal a $u-v$.

e. Sean $H=\scriptsize{\left\{\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right):\ 2x+3y-z=0 \right\} }$ y $K=\scriptsize{\left\{\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right):\ x-2y+5z=0 \right\} }$. Entonces $H\cup K$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$.