Tema 4

Considere $\mathbb{P}_3$, el espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual a $3$, con el producto interno definido por:$\footnotesize{\langle a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \rangle=a_3b_3+2a_2b_2+4a_1b_1+a_0b_0}$Considere además la transformación $T:\mathbb{P}_3 \longrightarrow \mathbb{P}_3$ definida por $T(p)=p(-1)+p(0)x^2$.

a. Determine una base para la imagen de $T$.

b. Determine una base para el complemento ortogonal del núcleo de la transformación lineal $T$.

c. Encuentre la proyección ortogonal de $r(x)=3x^3+2x^2+x+1$ sobre el núcleo de $T$.