Tema 1

A continuación se presentan cinco enunciados, cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones correctas (más de una puede ser correcta en cada caso). Marque, con una $X$, aquella o aquellas opciones correctas.

Literal a. Sea $V$ un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$. Para $u,v,w\in V$ y $\lambda, \mu\in \mathbb{K}$, es cierto que:

a.1. Si $v+u=u+w$, entonces $v=w$.
a.2. Si $\lambda u=\lambda v$, entonces $u=v$.
a.3. Si $\lambda v=\mu v$ y $v\neq 0_V$, entonces $\lambda=\mu$.
a.4. $dim(V)=dim(\mathbb{K})$.

Literal b. Sea $V$ un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$. Es cierto que:

b.1. Si $V=gen\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ y $\{ u_1,u_2,...,u_k \}$ es un conjunto de vectores linealmente independientes en V, entonces $n\geq k$.
b.2. Si $V$ es generado por el conjunto $S=\{ v_1,v_2,...,v_n \}$, entonces $S$ contiene una base.
b.3. Si $S=\{ u_1,u_2,...,u_k \}$ es un conjunto linealmente independiente, entonces $S$ es un subconjunto de una base de $V$.
b.4. Si $S=\{ u_1,u_2,...,u_k \}$ es un conjunto linealmente independiente, entonces $S$ contiene una base de $V$.

Literal c. Sean $V$ un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}_V$ y $W$ un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}_W$. Si $T:V \longrightarrow W$ es una transformación lineal, es cierto que:

c.1. Las operaciones $v+w$ y $T(v)+T(w)$ son operaciones en el espacio vectorial $V$.
c.2. $T(v+\alpha w)=T(v)+\alpha T(w)$.
c.3. $T(0_V)=0_W$.
c.4. Los campos $K_V$ y $K_W$ deben ser iguales.

Literal d. Sean $V$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $\mathbb{K}$. Considere $W_1, W_2$ dos subespacios de $V$. Es cierto que:

d.1. $dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)$.
d.2. Los complementos de $W_1$ y $W_2$, con respecto a $V$, son subespacios vectoriales de $V$.
d.3. $W_1 \cup W_2$, es el menor subespacio que contiene a $W_1+W_2$.
d.4. $W_1 \cap W_2$, $W_1+W_2$ son subespacios de $V$.