2016-2017 | - Part 3

Tema 2

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 2

Sea el espacio vectorial de las matrices $\mathbb{M}_{3\times 3}$ se define la matriz $M$ como sigue $M=\begin{pmatrix}3&2&0\\2&3&0\\0&0&3 \end{pmatrix}$

a. Determine el valor de $\alpha$ para que la matriz $A=\begin{pmatrix}13&12&0\\12&13&0\\0&0&\alpha \end{pmatrix}$ pertenezca al subespacio generado por $M$ e $I$ .
Nota: $I$ denota la matriz identidad.

b. Se define el subconjunto $E$ de $\mathbb{M}_{3\times 3}$ como $E=\footnotesize{\{ aI+bM+cM^2\; ; \; a,b,c\in \mathbb{R} \}}$ . Demuestre que $E$ es un subespacio vectorial.

c. ¿Cuál es la dimensión de $E$ ?

Tema 1

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 1

Sea la matriz $A=\begin{pmatrix}0&1&0&3&2\\0&2&0&6&4\\0&2&2&5&3 \\0&1&2&1&0 \end{pmatrix}$

a. Determine una base para el espacio fila, para el núcleo y la imagen de $A$ .

b. Halle la nulidad y rango de la matriz.

Tema 3

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 3

Sea $S$ un subespacio vectorial del espacio vectorial de $\mathbb{M}_{2\times 2}$ dado como $S=gen\left\{ \begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \begin{array}{rr}-1&-1\\0&0 \end{array} \end{pmatrix} \right\}$ Halle la $Proy_{S^{\perp}}C$ siendo $C=\begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix}$ . Use $\langle A,B \rangle=Traza({A^T}B)$

Tema 2

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 2

Sea $T$ el operador lineal definido sobre $M_{2\times 2}$ con regla de correspondencia $T(A)=\begin{pmatrix} 1&2\\1&1 \end{pmatrix}A-A\begin{pmatrix} 1&2\\1&1 \end{pmatrix}$

a. Determine una base y dimensión para el kernel y recorrido de $T$ .

b. ¿Es $T$ invertible? Justifique su respuesta.

c. Halle $T^2$ .

d. Determine los valores propios de $T^2$ . ¿Es $T^2$ diagonalizable?

Tema 1

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta.

a. Sea $f:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ una función definida como $f((x_1,y_1),(x_2,y_2))=x_1x_2-x_1y_2-x_2y_1+ky_1y_2$ Entonces es verdadero que $\forall k\in \mathbb{R}\;, \; f(x,x)>0$ .

b. Sean $v_1$ y $v_2$ dos vectores propios de una matriz $A$ , entonces $v_1+v_2$ también es un vector propio de $A$ .

Tema 4

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 4

Sea $V=\mathbb{P}_2$ . Sea el subconjunto $H$ definido como $H=\{ p(x)\in \mathbb{P}_2 \;/\; p'(0)+p''(0)=0\}$ Determine si $H$ es un subespacio vectorial; si lo es, halle una base y dimensión de $H$ .

Tema 3

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 3

Sea $V=\mathbb{R}^3$ . Sean los conjuntos: $\begin{aligned}W&=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 / (x,y,z)=(0,0,1)+(0,1,2)t\; ;\; t\in \mathbb{R}\}\\U&= \{ u\in \mathbb{R}^2 / u=f(w)\; ;\; w\in W\}\end{aligned}$ y sea la función $f:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^2$ tal que $f(x,y,z)=(4x-2y,y+z)$ Determine:

a. Si $f$ es una transformación lineal.

b. La representación gráfica de $W$ .

c. La representación gráfica de $U$ .

Tema 2

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 2

Sea la matriz $A=\begin{pmatrix}1&1&2&4\\3&c&2&8\\0&0&2&2 \end{pmatrix}$ Halle los posibles valores de $c$ para que la $dim\;Im(A)$ sea $1$ , $2$ , $3$ y $4$ . Justifique cada una de sus respuestas.

Tema 1

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta.

a. Si $V$ es un espacio vectorial con operaciones cualesquiera, entonces $(v')'=v$ para todo vector $v$ que pertenece a $V$ .
Nota: El inverso aditivo de $v$ se denota como $v'$ .

b. Sean $W$ y $H$ dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial $V$ . Si $dim\;W=dim\;H$ , entonces $W=H$ .

c. Si $A$ es una matriz de tamaño $3\times 5$ , entonces $dim\;Nu(A)\ge 2$ .