Categoría: Término 1

Tema 6

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 6

Para el operador lineal en P2\mathbb{P}_2 definido como T(p(x))=(x−1)p′(x)+p(0)T(p(x))=(x-1)p'(x)+p(0). Halle la representación matricial de TT usando la siguiente base para P2\mathbb{P}_2:B1=B2={x−1,x+1,x2+1}B_1=B_2=\{ x-1,x+1,x^2+1 \}

Tema 5

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 5

Sea V=R4V=\mathbb{R}^4 y sea H={v∈R4;v=(a,b,−b,−a);a,b∈R}H=\{ v\in \mathbb{R}^4\; ; \;v=(a,b,-b,-a)\; ; \; a,b\in \mathbb{R} \}.

a. Halle H⊥H^{\perp}.

b. Determine ProyH⊥vProy_{H^{\perp}}^v siendo v=(2,0,1,1)v=(2,0,1,1).

Tema 4

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 4

Determine el valor de k∈Rk\in \mathbb{R} para que la matriz AA sea diagonalizable.A=(k010k010k)A=\begin{pmatrix} k&0&1\\0&k&0\\1&0&k \end{pmatrix}

Tema 3

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 3

Para la transformación lineal T:P3→P3T:\mathbb{P}_3 \rightarrow \mathbb{P}_3 definida comoT(p(x))=xp′(x)T(p(x))=xp'(x) determine:

a. Una base para el núcleo y el recorrido de TT.

b. El rango y nulidad de TT.

c. ¿Es TT inversible? Justifique su respuesta.

Tema 2

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 2

Sea el espacio vectorial de las matrices M3×3\mathbb{M}_{3\times 3} se define la matriz MM como sigueM=(320230003)M=\begin{pmatrix}3&2&0\\2&3&0\\0&0&3 \end{pmatrix}

a. Determine el valor de α\alpha para que la matrizA=(131201213000α)A=\begin{pmatrix}13&12&0\\12&13&0\\0&0&\alpha \end{pmatrix}pertenezca al subespacio generado por MM e II.
Nota: II denota la matriz identidad.

b. Se define el subconjunto EE de M3×3\mathbb{M}_{3\times 3} como E={aI+bM+cM2;a,b,c∈R}E=\footnotesize{\{ aI+bM+cM^2\; ; \; a,b,c\in \mathbb{R} \}}. Demuestre que EE es un subespacio vectorial.

c. ¿Cuál es la dimensión de EE?

Tema 1

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 1

Sea la matriz A=(01032020640225301210)A=\begin{pmatrix}0&1&0&3&2\\0&2&0&6&4\\0&2&2&5&3 \\0&1&2&1&0 \end{pmatrix}

a. Determine una base para el espacio fila, para el núcleo y la imagen de AA.

b. Halle la nulidad y rango de la matriz.

Tema 3

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 3

Sea SS un subespacio vectorial del espacio vectorial de M2×2\mathbb{M}_{2\times 2} dado comoS=gen{(1100),(−1−100)}S=gen\left\{ \begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \begin{array}{rr}-1&-1\\0&0 \end{array} \end{pmatrix} \right\}Halle la ProyS⊥CProy_{S^{\perp}}C siendo C=(1100)C=\begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix}. Use ⟨A,B⟩=Traza(ATB)\langle A,B \rangle=Traza({A^T}B)

Tema 2

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 2

Sea TT el operador lineal definido sobre M2×2M_{2\times 2} con regla de correspondenciaT(A)=(1211)A−A(1211)T(A)=\begin{pmatrix} 1&2\\1&1 \end{pmatrix}A-A\begin{pmatrix} 1&2\\1&1 \end{pmatrix}

a. Determine una base y dimensión para el kernel y recorrido de TT.

b. ¿Es TT invertible? Justifique su respuesta.

c. Halle T2T^2.

d. Determine los valores propios de T2T^2. ¿Es T2T^2 diagonalizable?

Tema 1

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta.

a. Sea f:R2×R2⟶Rf:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R} una función definida comof((x1,y1),(x2,y2))=x1x2−x1y2−x2y1+ky1y2f((x_1,y_1),(x_2,y_2))=x_1x_2-x_1y_2-x_2y_1+ky_1y_2Entonces es verdadero que ∀k∈R,f(x,x)>0\forall k\in \mathbb{R}\;, \; f(x,x)>0.

b. Sean v1v_1 y v2v_2 dos vectores propios de una matriz AA, entonces v1+v2v_1+v_2 también es un vector propio de AA.