Categoría: Término 1

Sea $V=\mathbb{P}_2$. Sea el subconjunto $H$ definido como$H=\{ p(x)\in \mathbb{P}_2 \;/\; p'(0)+p''(0)=0\}$Determine si $H$ es un subespacio vectorial; si lo es, halle una base y dimensión de $H$.

Sea $V=\mathbb{R}^3$. Sean los conjuntos:$\begin{aligned}W&=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 / (x,y,z)=(0,0,1)+(0,1,2)t\; ;\; t\in \mathbb{R}\}\\U&= \{ u\in \mathbb{R}^2 / u=f(w)\; ;\; w\in W\}\end{aligned}$y sea la función $f:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^2$ tal que $f(x,y,z)=(4x-2y,y+z)$Determine:

a. Si $f$ es una transformación lineal.

b. La representación gráfica de $W$.

c. La representación gráfica de $U$.

Sea la matriz $A=\begin{pmatrix}1&1&2&4\\3&c&2&8\\0&0&2&2 \end{pmatrix}$Halle los posibles valores de $c$ para que la $dim\;Im(A)$ sea $1$, $2$, $3$ y $4$. Justifique cada una de sus respuestas.

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta.

a. Si $V$ es un espacio vectorial con operaciones cualesquiera, entonces $(v')'=v$ para todo vector $v$ que pertenece a $V$.
Nota: El inverso aditivo de $v$ se denota como $v'$.

b. Sean $W$ y $H$ dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial $V$. Si $dim\;W=dim\;H$, entonces $W=H$.

c. Si $A$ es una matriz de tamaño $3\times 5$, entonces $dim\;Nu(A)\ge 2$.