Categoría: Segunda Evaluación

Sea $S$ un subespacio vectorial del espacio vectorial de $\mathbb{M}_{2\times 2}$ dado como$S=gen\left\{ \begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \begin{array}{rr}-1&-1\\0&0 \end{array} \end{pmatrix} \right\}$Halle la $Proy_{S^{\perp}}C$ siendo $C=\begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix}$. Use $\langle A,B \rangle=Traza({A^T}B)$

Sea $T$ el operador lineal definido sobre $M_{2\times 2}$ con regla de correspondencia$T(A)=\begin{pmatrix} 1&2\\1&1 \end{pmatrix}A-A\begin{pmatrix} 1&2\\1&1 \end{pmatrix}$

a. Determine una base y dimensión para el kernel y recorrido de $T$.

b. ¿Es $T$ invertible? Justifique su respuesta.

c. Halle $T^2$.

d. Determine los valores propios de $T^2$. ¿Es $T^2$ diagonalizable?

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta.

a. Sea $f:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ una función definida como$f((x_1,y_1),(x_2,y_2))=x_1x_2-x_1y_2-x_2y_1+ky_1y_2$Entonces es verdadero que $\forall k\in \mathbb{R}\;, \; f(x,x)>0$.

b. Sean $v_1$ y $v_2$ dos vectores propios de una matriz $A$, entonces $v_1+v_2$ también es un vector propio de $A$.