Categoría: Tercera Evaluación

Defina:

a. Independencia Lineal.

b. Matriz semejante.

Para el operador lineal en $\mathbb{P}_2$ definido como $T(p(x))=(x-1)p'(x)+p(0)$. Halle la representación matricial de $T$ usando la siguiente base para $\mathbb{P}_2$:$B_1=B_2=\{ x-1,x+1,x^2+1 \}$

Sea $V=\mathbb{R}^4$ y sea $H=\{ v\in \mathbb{R}^4\; ; \;v=(a,b,-b,-a)\; ; \; a,b\in \mathbb{R} \}$.

a. Halle $H^{\perp}$.

b. Determine $Proy_{H^{\perp}}^v$ siendo $v=(2,0,1,1)$.

Determine el valor de $k\in \mathbb{R}$ para que la matriz $A$ sea diagonalizable.$A=\begin{pmatrix} k&0&1\\0&k&0\\1&0&k \end{pmatrix}$

Para la transformación lineal $T:\mathbb{P}_3 \rightarrow \mathbb{P}_3$ definida como$T(p(x))=xp'(x)$ determine:

a. Una base para el núcleo y el recorrido de $T$.

b. El rango y nulidad de $T$.

c. ¿Es $T$ inversible? Justifique su respuesta.

Sea el espacio vectorial de las matrices $\mathbb{M}_{3\times 3}$ se define la matriz $M$ como sigue$M=\begin{pmatrix}3&2&0\\2&3&0\\0&0&3 \end{pmatrix}$

a. Determine el valor de $\alpha$ para que la matriz$A=\begin{pmatrix}13&12&0\\12&13&0\\0&0&\alpha \end{pmatrix}$pertenezca al subespacio generado por $M$ e $I$.
Nota: $I$ denota la matriz identidad.

b. Se define el subconjunto $E$ de $\mathbb{M}_{3\times 3}$ como $E=\footnotesize{\{ aI+bM+cM^2\; ; \; a,b,c\in \mathbb{R} \}}$. Demuestre que $E$ es un subespacio vectorial.

c. ¿Cuál es la dimensión de $E$?

Sea la matriz $A=\begin{pmatrix}0&1&0&3&2\\0&2&0&6&4\\0&2&2&5&3 \\0&1&2&1&0 \end{pmatrix}$

a. Determine una base para el espacio fila, para el núcleo y la imagen de $A$.

b. Halle la nulidad y rango de la matriz.