Término 1 |

Tema 5

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 5

Sean $B_1=\{v_1,v_2,v_3\}$ y $B_2=\{u_1,u_2,u_3\}$ bases del espacio vectorial $V=\mathbb{P}_2$ . Suponga que: $\begin{aligned}[x^2-x]_{B_1} &= (1,1,0)\\ {[x+1]_{B_1}}&=(0,1,0) \\ {[2x^2+1]_{B_1}}&=(1,-1,0) \\ {[u_1+u_2]_{B_1}}&=(3,1,1) \\{[u_2+u_3]_{B_1}}&=(5,2,0) \\{[u_3]_{B_1}}&=(3,0,0) \end{aligned}$ Encuentre los vectores de ambas bases.

Tema 4

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 4

Para la ecuación $-2x^2+4xy+y^2+2x-1=0$ . Identifique la cónica que corresponde, indicando el ángulo de rotación y su ecuación, sin el término de rotación, en su forma canónica.

Tema 3

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 3

Sea $V=\mathbb{R}^4$ y los subespacios: $\begin{aligned} S&=\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4\; : \; x-2y+w=0\; ; \; z+w=0\}\quad \textnormal{y}\\ T&=gen\{(1,0,0,1),(5,1,3,-3)\} \end{aligned}$ Halle una base y dimensión para $S+T$ y $S\cap T$ .

Tema 2

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 2

Se sabe que $\lambda_1 = 2$ y $\lambda_2 = -3$ son los valores propios de una matriz $A$ de tamaño $3\times 3$ y entradas reales. Además, se tiene que los respectivos espacios propios son:
$E_{\lambda_1}=gen\{(1,0,-1)\} \qquad E_{\lambda_2}=gen\{(1,0,0),(0,2,3)\}$ Determine:

a. Si $A$ es diagonalizable.

b. La matriz $A$ .

Tema 1

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Sea $\theta\in [0,2\pi]$ fijo y $T:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ la transformación lineal cuya matriz en la base canónica es: $A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array}\end{pmatrix}$ entonces $T$ es invertible.

b. Sea $\{u_1,u_2,...,u_k\}$ un conjunto de vectores linealmente independientes y sea $S$ el subespacio generado por dicho conjunto. Si $v\notin S$ , entonces el conjunto $\{u_1,u_2,...,u_k,v\}$ también es un conjunto linealmente independiente.

c. Se sabe que las transformaciones lineales $T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ y $S:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ son no nulas y satisfacen que $S$ es inyectiva y $Nu(T\circ S)=\mathbb{R}^2$ . Por ello, la nulidad de $T$ es $3$ .

d. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real de $a$ $\left\{\begin{aligned} -2x+y-z&=ax \\ -x-y&=ay \\ y-3z&=az \end{aligned}\right.$

Tema 4

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 4

Sea $V=\mathbb{R}^3$ y sea $H$ el subespacio de $V$ definido como $H=gen\left\{ \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ 1\\ -1 \end{array}\end{pmatrix} \right\} \quad y \quad x=\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ 3\\ 2 \end{array}\end{pmatrix}$ usando el producto interno canónico o estándar, halle:

a. El complemento ortogonal de $H$ .

b. Una base ortonormal de $H$ .

c. La proyección ortogonal de $x$ sobre $H$ .

Tema 3

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 3

Determine los valores propios y vectores propios de la matriz $A$ y además la matriz ortogonal que permite la diagonalización de la matriz $A$ . $A=\begin{pmatrix}\begin{array} {rrrr} 1&-2&0&0 \\ -2&1&0&0 \\ 0&0&1&-2 \\ 0&0&-2&1 \end{array}\end{pmatrix}$

Tema 2

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 2

Construya de ser posible un operador lineal $T:\mathbb{R}^4\longrightarrow \mathbb{R}^4$ , tal que el espacio propio asociado al valor propio $\lambda=0$ sea $W=\left\{ \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\end{pmatrix} \right\}$ y además $T\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \quad ; \quad T\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\end{pmatrix}$

Tema 1

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. La matriz que se muestra es diagonalizable para todo $c\in \mathbb{R}$ . $\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&2\\0&0&c\end{pmatrix}$

b. Si $B$ es una matriz de orden $n$ semejante a una matriz $A$ de orden $n$ y diagonalizable, entonces $B$ es diagonalizable.

c. Sea $V$ un espacio vectorial con producto interno. Sean $u$ , $v$ y $w$ vectores de $V$ . Si $\langle u,w \rangle=\langle v,w \rangle$ , entonces $u=v$ .
Nota: $\langle u,w \rangle$ denota el producto interno en $V$ .

d. Sea $T:V \longrightarrow W$ una transformación lineal. Si $dim \; V=dim \; W=n$ y $T$ es sobreyectiva, entonces $T$ es inyectiva.

Tema 6

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 6

Sea $T$ una función definida sobre $C^2{[a,b]}$ como: $\begin{aligned}T&:\ C^2{[a,b]} \rightarrow C^2{[a,b]} \\ T(f)&=f''+2f'+f \end{aligned}$ Determine si $T$ es una transformación lineal.