Categoría: Primera Evaluación

Sea $T$ una función definida sobre $C^2{[a,b]}$ como:$\begin{aligned}T&:\ C^2{[a,b]} \rightarrow C^2{[a,b]} \\ T(f)&=f''+2f'+f \end{aligned}$Determine si $T$ es una transformación lineal.

Califique como verdadero o falso y justifique su respuesta.

a. Sea $V$ un espacio vectorial. Sea $S$ un conjunto linealmente independiente en $V$. Si $w$ es un vector no nulo de $V$, entonces $S\cup \{w\}$ es también un conjunto linealmente independiente en $V$.

b. Sea $S=\{v_1,v_2,\cdots,v_k\}$ un conjunto generador del espacio vectorial. Si se añade un vector $v_{k+1}$ que es combinación lineal de los vectores de $S,$ entonces el conjunto $S'=\{v_1,v_2,\cdots,v_k,v_{k+1}\}$ NO es un conjunto generador de $V$.

Sea una base $B=\left\{v_1,v_2,v_3,v_4\right\}$ del espacio vectorial $V$, se definen los siguientes subespacios vectoriales:$\begin{aligned}H&=gen\left\{v_1-v_2+v_3,2v_2-v_3\right\}\\W&=gen\left\{v_1+v_2+v_4,v_4-v_1\right\}\end{aligned}$Determine $H\cap W$, $H+W$ y sus respectivas dimensiones.

Para la matriz $A$. Obtenga el valor de $k$ para que la dimensión de la imagen de $A$ sea $3$. ¿Y para que la $dim(Im(A))=1$? En ambos casos justifique su respuesta.$\small{A=\left(\begin{array}{rrrr} 1&1&2&4 \\ 2&k&4&8 \\ 0&0&8&16 \end{array}\right)}$

Considere las bases ordenadas del espacio vectorial $V=D_{2\times 2}$ que se indican a continuación:$\small{B_1=\left\{ \left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)\right\} \quad B_2=\left\{ \left(\begin{array}{rr} 4 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{rr} -4 & 0 \\ 0 & -3 \end{array}\right)\right\}}$a. Si $\small{A=\left(\begin{array}{rr} 5 & 0\\ 0 & -2 \end{array}\right)}$, determine $\left[A\right]_{B_1}$.
b. Determine la matriz (de transición) de cambio de base de $B_1$ a $B_2$.

Un grupo de personas se reúnen para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Si se cuentan los hombres y mujeres, resulta ser el triple de niños. Además, si hubiese acudido una mujer más, su número iguala al de hombres. Hallar el número de hombres, mujeres y niños que han ido a la excursión.