Categoría: Tercera Evaluación

Sean $B_1=\{v_1,v_2,v_3\}$ y $B_2=\{u_1,u_2,u_3\}$ bases del espacio vectorial $V=\mathbb{P}_2$. Suponga que:$\begin{aligned}[x^2-x]_{B_1} &= (1,1,0)\\ {[x+1]_{B_1}}&=(0,1,0) \\ {[2x^2+1]_{B_1}}&=(1,-1,0) \\ {[u_1+u_2]_{B_1}}&=(3,1,1) \\{[u_2+u_3]_{B_1}}&=(5,2,0) \\{[u_3]_{B_1}}&=(3,0,0) \end{aligned}$Encuentre los vectores de ambas bases.

Para la ecuación $-2x^2+4xy+y^2+2x-1=0$. Identifique la cónica que corresponde, indicando el ángulo de rotación y su ecuación, sin el término de rotación, en su forma canónica.

Sea $V=\mathbb{R}^4$ y los subespacios:$\begin{aligned} S&=\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4\; : \; x-2y+w=0\; ; \; z+w=0\}\quad \textnormal{y}\\ T&=gen\{(1,0,0,1),(5,1,3,-3)\} \end{aligned}$Halle una base y dimensión para $S+T$ y $S\cap T$.

Se sabe que $\lambda_1 = 2$ y $\lambda_2 = -3$ son los valores propios de una matriz $A$ de tamaño $3\times 3$ y entradas reales. Además, se tiene que los respectivos espacios propios son:
$E_{\lambda_1}=gen\{(1,0,-1)\} \qquad E_{\lambda_2}=gen\{(1,0,0),(0,2,3)\}$Determine:

a. Si $A$ es diagonalizable.

b. La matriz $A$.

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Sea $\theta\in [0,2\pi]$ fijo y $T:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ la transformación lineal cuya matriz en la base canónica es:$A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array}\end{pmatrix}$entonces $T$ es invertible.

b. Sea $\{u_1,u_2,...,u_k\}$ un conjunto de vectores linealmente independientes y sea $S$ el subespacio generado por dicho conjunto. Si $v\notin S$, entonces el conjunto $\{u_1,u_2,...,u_k,v\}$ también es un conjunto linealmente independiente.

c. Se sabe que las transformaciones lineales $T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ y $S:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ son no nulas y satisfacen que $S$ es inyectiva y $Nu(T\circ S)=\mathbb{R}^2$. Por ello, la nulidad de $T$ es $3$.

d. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real de $a$$\left\{\begin{aligned} -2x+y-z&=ax \\ -x-y&=ay \\ y-3z&=az \end{aligned}\right.$