Categoría: Segunda Evaluación

Dada la matriz $A=\small{\begin{pmatrix}2a-b & 0 & 2a-2b\\ 1 & a & 2 \\ b-a & 0 & -a+2b\end{pmatrix}}$. Determine, de ser posible, los valores de $a$ y $b$ para que $A$ sea una matriz diagonalizable.

En el espacio de la matrices de entradas reales y orden $2$, $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, se define el producto interno $\langle A,B \rangle = Tr(B^T A)$. Sea $H=\{A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})\;:\;Tr(A)=0\}$.

a. Sean $A=\small{\begin{pmatrix}k-2 & 0\\ 1 & s+2\end{pmatrix}}$ y $B=\small{\begin{pmatrix}2 & 10\\ 0 & -2\end{pmatrix}}$$\in H$. Determine, de ser posible, los valores de $s$ y $k$ para que $A$ y $B$ sean matrices ortogonales.

b. Encuentre $H^{\perp}$.

c. Encuentre la proyección de $B$ sobre $H^{\perp}$, es decir, $Proy_{H^{\perp}}B$.

Si $T:\mathbb{P}_2\longrightarrow \mathbb{R}^4$ es una transformación lineal del espacio de polinomios de grado menor o igual que $2$ en $\mathbb{R}^4$, tal que$[T]_{B_1 B_2}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1\end{pmatrix}$siendo $B_1=\left\{x^2 - x + 1,\;x+2,\;1 \right\}$ y $B_2=\scriptsize{\left\{ \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\right\}}.$
Determinar:

a. $T(x^2),\; T(x),\; T(1)$.

b. $T(ax^2+bx+c),$ para $a,b,c \in \mathbb{R}$.

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Si $A$ es una matriz de orden $n\times n$ con valor propio cero, entonces $A$ es una matriz singular (no invertible).

b. Sean $V$ un espacio vectorial con producto interno y $v_1, v_2\in V$. Si $v_1$ y $v_2$ son dos vectores ortogonales, entonces $[v_1, v_2]$ es un conjunto linealmente independiente de $V$.

c. Sea $T:V \longrightarrow W$ una transformación lineal. Si $dim\; V=dim\;W=n$ y $T$ es sobreyectiva, entonces $T$ es un isomorfismo.

d. Sea $V$ un espacio vectorial con producto interno y sean $A, B$ subconjuntos de $V$ tales que $0_v\in A\cap B$, entonces ${(A+B)}^{\perp}=A^{\perp}\cap B^{\perp}$.