Categoría: Tercera Evaluación

Considere $\mathbb{P}_3$, el espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual a $3$, con el producto interno definido por:$\footnotesize{\langle a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \rangle=a_3b_3+2a_2b_2+4a_1b_1+a_0b_0}$Considere además la transformación $T:\mathbb{P}_3 \longrightarrow \mathbb{P}_3$ definida por $T(p)=p(-1)+p(0)x^2$.

a. Determine una base para la imagen de $T$.

b. Determine una base para el complemento ortogonal del núcleo de la transformación lineal $T$.

c. Encuentre la proyección ortogonal de $r(x)=3x^3+2x^2+x+1$ sobre el núcleo de $T$.

Se sabe que $\lambda_1 = 2$ y $\lambda_2 = -3$ son los valores propios de una matriz $A$ de tamaño $3\times 3$ y entradas reales. Además, se tiene que los respectivos espacios propios son:
$E_{\lambda_1}=gen\{(1,0,-1)\} \qquad E_{\lambda_2}=gen\{(1,0,0),(0,2,3)\}$Determine:

a. Si $A$ es diagonalizable.

b. La matriz $A$.

Sean $B_1$ y $B_2$ bases de $\mathbb{R}^2$ tales que $M_{B_1 B_2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & -3 \end{pmatrix}$ es la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$.

a. Si $[u]_{B_1}=\begin{pmatrix}-1\\4 \end{pmatrix}$, calcular $[u]_{B_2}$.

b. Si $[v]_{B_2}=\begin{pmatrix}3\\5 \end{pmatrix}$, calcular $[v]_{B_1}$.

c. Si $B_1=\{(1,3),(0,4)\}$, obtener la base de $B_2$.

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real de $a$$\left\{\begin{aligned} -2x+y-z&=ax \\ -x-y&=ay \\ y-3z&=az \end{aligned}\right.$

b. Sean $V$ un espacio vectorial, sobre un campo $\mathbb{K}$, con producto interno y $v_1,v_2\in V$ dos vectores no nulos. Si $v_1$ y $v_2$ son dos vectores ortogonales, entonces $[v_1,v_2]$ es un conjunto linealmente independiente de $V$.

c. Si $A$ es una matriz $2\times 2$ y $p(\lambda)$ es su polinomio característico, entonces $p(\lambda)=\lambda^2-(Traza\;A)\lambda+det(A)$.

d. Sean $V$ un espacio vectorial, con producto interno, $u$, $v$ dos vectores cualesquiera en $V$, si $\lVert u\rVert=\lVert v\rVert$, entonces $u+v$ es ortogonal a $u-v$.

e. Sean $H=\scriptsize{\left\{\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right):\ 2x+3y-z=0 \right\} }$ y $K=\scriptsize{\left\{\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right):\ x-2y+5z=0 \right\} }$. Entonces $H\cup K$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$.