2018-2019 | - Part 3

Tema 5

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 5

Sea $V=P_2{(\mathbb{R})}$ el espacio de los polinomios de grado menor o igual a 2, con coeficientes reales. Considere los conjuntos: $\begin{aligned} H_1&=\{ ax^2+(2a+b)x+b\ :\ a,b\in \mathbb{R} \} \\ H_2&=gen\{ x-2,x+3 \} \\ H_3&=\{ (a+b)x^2+(a+b)x+1\ :\ a,b\in \mathbb{R} \} \end{aligned}$ a) Determine, cuáles de estos conjuntos es un subespacio vectorial $V$ .
b) Si en el literal a obtiene más de un subespacio vectorial, determine la intersección entre dichos subespacios.
c) Determine si $H_1\cup H_2$ es un subespacio de $V$ .

Tema 4

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 4

Construya, de ser posible, un sistema con:

a) 3 ecuaciones y 2 incógnitas que tenga infinitas soluciones.
b) 3 ecuaciones y 3 incógnitas que no tenga solución.
c) 3 ecuaciones y 2 incógnitas que tenga solución única.

Tema 3

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 3

Sea $V$ un espacio vectorial real sobre el cual se ha definido al producto interno ${\langle \cdotp | \cdotp \rangle}$ . Demuestre que para todo par $u,v\in V$ se cumple que ${\langle v | u \rangle}=\frac{1}{4}{\lVert u+v \rVert}^2 - \frac{1}{4}{\lVert v-u \rVert}^2$ .

Tema 2

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 2

Sea $V$ un espacio vectorial complejo sobre el cual se ha definido al producto interno ${\langle \cdotp | \cdotp \rangle}$ . Demuestre que para todo par $u,v\in V$ y $\alpha \in \mathbb{C}$ , se cumple que ${\langle u | \alpha v \rangle}=\bar{\alpha}{\langle u | v \rangle}$ .

Tema 1

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 1

A continuación se presentan cinco enunciados, a cada uno de los cuales se le han adjuntado cuatro proposiciones, donde al menos una es verdadera. Determine y marque en el círculo correspondiente, la o las opciones correctas.

Literal a. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales de dimensión finita, definidos sobre un mismo campo $\mathbb{K}$ . Si $T:V\longrightarrow W$ es una transformación lineal y $B=\{ u_1,u_2,...,u_n\}$ es una base del espacio $V$ , entonces es cierto que:

a.1.	T es inyectiva si, y sólo si, $Ker(T)=\{\bold{0}_W\}$ genera a $W$ .
a.2.	$T(u_1),T(u_2),...,T(u_n)$ son vectores linealmente independientes en $W$ .
a.3.	$T$ es sobreyectiva si, y sólo si, $\{ T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) \}$ genera a $W$ .
a.4.	$T$ es un isomorfismo si, y sólo si, $\{ T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) \}$ es una base de $W$ .

Literal b. Sea $V$ un espacio vectorial, de dimensión finita, definido sobre un campo $\mathbb{K}$ . Si $S_1$ y $S_2$ son subespacios de $V$ , entonces es cierto que:

b.1.	$dim(S_1 + S_2)=dim(S_1)+dim(S_2)$ .
b.2.	$S_1 + S_1^\perp = \{\bold{0}_V\}$ .
b.3.	$(S_1^\perp)^\perp \subseteq S_1$ .
b.4.	En general, $S_1 \cup S_2$ es un subespacio.

Literal c. Dada la representación matricial de un sistema de ecuaciones, y realizadas las operaciones elementales de filas se obtiene la matriz $\begin{pmatrix}\begin{array} {ccc|c} 1&1&a&a \\ 0&a-1&1-a&0 \\ 0&0&2-a-a^2&1-a^2 \end{array}\end{pmatrix}$ entonces es cierto que:

c.1.	Ningún sistema de ecuaciones puede tener esta matriz como representación matricial.
c.2.	Si $a\neq 1$ y $a\neq -2$ el sistema tiene solución única.
c.3.	Para $a=1$ el sistema tiene infinitas soluciones.
c.4.	Para $a=-2$ el sistema no tiene solución.

Literal d. Sea $V$ un espacio vectorial, de dimensión finita y definido sobre un campo $\mathbb{K}$ , entonces es cierto que:

d.1.	Si $B=\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ es un conjunto linealmente independiente en $V$ , entonces $\{ v_2,...,v_n \}$ también es un conjunto linealmente independiente en $V$ .
d.2.	Si $B=\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ es un conjunto linealmente independiente en $V$ y $w\in V$ es un vector no nulo, entonces $\{v_1,v_2,...,v_n,w \}$ también es un conjunto linealmente independiente en $V$ .
d.3.	Si $B_1=\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ y $B_2=\{ u_1,u_2,...,u_n \}$ son dos bases de $V$ , $B_1 \cap B_2$ también es una base en $V$ .
d.4.	Si $B_1=\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ es una base de $V$ , entonces $\{ v_1,v_1+v_2,v_1+v_3,...,v_1+v_n \}$ es también una base de $V$ .

Literal e. Sean $u_1$ y $u_2$ dos vectores propios de la matriz $A\in M_n{(\mathbb{R})}$ asociados al autovalor $\lambda$ . Es cierto que:

e.1.	$u_1-u_2$ es vector propio asociado a $A^2-A$ .
e.2.	$u_1+u_2$ es vector propio asociado al valor propio $\lambda$ .
e.3.	$u_1\perp u_2$ .
e.4.	La multiplicidad geométrica de $\lambda$ debe ser 2.

Tema 5

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 5

Dada la transformación lineal $T:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^3$ definida por $T\begin{pmatrix} \begin{array}{r} a\\b\\c \end{array} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} a-2b-2c\\-2a+bm+8c\\2a+8b+cm \end{array} \end{pmatrix},$ determine los valores de la constante $m$ para los cuales no es diagonalizable en $\mathbb{R}$ la matriz $[T]_{BB}$ , asociada a la transformación con respecto a las bases canónicas $B$ en $\mathbb{R}^3$ .

Tema 4

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 4

Sea $V=P_3(\mathbb{R})$ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a $3$ con coeficientes reales, con el producto interno ${\langle f | g \rangle}=\int_{-1}^{1} f(x)g(x) dx.$

4.1. Determinar el complemento ortogonal de $W=gen\{ 1+x,x^2 - 1 \}.$
4.2. Escriba el vector $v=x^3+3x^2-x+1$ como suma de un elemento en $W$ y su complemento ortogonal $W^{\perp}$ .

Tema 3

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 3

Sean ${\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_1$ y ${\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_2$ dos productos internos en un espacio vectorial $V$ sobre el campo de los complejos. Demuestre que ${\langle \cdotp | \cdotp \rangle}={\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_1+{\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_2$ es un producto interno sobre $V$ .

Tema 2

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 2

Construya, de ser posible, una transformación lineal $T:M_{2\times 2}\longrightarrow \mathbb{R}^3$ tal que el núcleo de $T$ sea el conjunto de matrices simétricas de tamaño $2\times 2$ , y $T\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 0&1\\-1&0 \end{array} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array} \end{pmatrix}.$

Tema 1

Examen | 2018-2019 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 1

A continuación se presentan cuatro enunciados, cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones correctas (más de una puede ser correcta en cada caso). Marque, con una $X$ , aquella o aquellas opciones correctas.

Literal a. Sea $T:V\longrightarrow W$ una transformación lineal. Si $dim{V}=n$ y $dim{W}=n-1$ , es cierto que:

a.1. $T$ debe ser sobreyectiva.
a.2. $T(\textbf{0}_V)=\textbf{0}_W$ .
a.3. Si $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ es un conjunto linealmente independiente en $V$ , entonces no necesariamente $\{T(v_1),T(v_2),...,T(v_n)\}$ es un conjunto linealmente independiente de $W$ .
a.4. El rango de $T$ es menor o igual a $n-1$ .

Literal b. Si $u$ y $v$ son vectores ortogonales de un espacio real, entonces es cierto que:

b.1. $\lVert u+v\rVert^2=\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert^2$ .
b.2. $u$ y $v$ son linealmente independientes.
b.3. $3u$ y $-4v$ son ortogonales.
b.4. $u$ y $u+v$ no pueden ser ortogonales.

Literal c. Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ en un campo $\mathbb{R}$ , entonces es cierto que:

c.1. $A$ y $A^T$ tienen el mismo polinomio característico.
c.2. Si $A$ es ortogonalmente diagonalizable, entonces es simétrica.
c.3. $\lambda$ es un autovalor de $A$ sí, y solo sí, $\lambda$ es una raíz del polinomio característico de $A$ .
c.4. La multiplicidad algebraica de un autovalor $\lambda$ se define como la dimensión del autoespacio $E_{\lambda}$ .

Literal d. Sea $A$ una matriz cuadrada diagonalizable de orden $n$ con entradas en un campo $\mathbb{K}$ es cierto que:

d.1. $A$ tiene $n$ autovectores linealmente independientes.
d.2. $A$ tiene $n$ autovectores diferentes.
d.3. $A$ debe se una matriz simétrica.
d.4. Existen matrices cuadradas $P$ y $D$ tales que $A=P^{-1}DP$ .