Categoría: Primera Evaluación

Sean $B_1=\{v_1,v_2,v_3\}$ y $B_2=\{u_1,u_2,u_3\}$ bases ordenadas del espacio vectorial $V$. Suponga que:$\begin{array} {rrr} {[\cos^2 x]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\1\\1 \end{array} \end{pmatrix}} & {[\sin x]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array} \end{pmatrix}} \\ \\ {[\sin^2 x]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0\\2\\1 \end{array} \end{pmatrix}} \\ \\ {[u_1 - u_2]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0\\1\\1 \end{array} \end{pmatrix}} & {[u_1 + u_2]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} -2\\1\\-1 \end{array} \end{pmatrix}} \\ \\ {[u_1 + u_2 + u_3]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2\\0\\-1 \end{array} \end{pmatrix}} \end{array}$Determine:

5.1. La matriz de cambio de base de $B_2$ a $B_1$.
5.2. Los vectores de la base $B_1$.
5.3. Los vectores de la base $B_2$

Sea $\mathbb{M_{2\times 2}}(\mathbb{R})$ el espacio vectorial real de las matrices de orden $2\times 2$ con entradas reales. Sea $S$ el subconjunto de todas las matrices en $\mathbb{M_{2\times 2}}(\mathbb{R})$ cuya suma de los elementos de cada fila es cero y la suma de los elementos de cada columna es cero. Demuestre que $S$ es un subespacio de $\mathbb{M_{2\times 2}}(\mathbb{R})$.

Sea $\mathbb{P_3}(\mathbb{R})$ el espacio vectorial de los polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual a $3$. Considere $H$ y $W$ subespacios de $V$ tales que $H=gen\{x^2-1,x^3\}$ y $W=gen\{5,x^3-x^2\}$.Determine:

3.1. Una base $B_1$ para el subespacio $H\cap W$ e indique su dimensión.
3.2. Una base $B_2$ para el subespacio $H + W$.
3.3. Una base para $\mathbb{P_3}(\mathbb{R})$ que contenga a $B_2$.
3.4. Si el vector $1-x+x^2-2x^3$ pertenece a $H+W$.

El estadio de Kaliningrado (Arena Baltika) en Rusia, con capacidad para setenta y dos mil espectadores¹, está lleno durante la celebración del partido entre Inglaterra y Bélgica. Unos espectadores son hinchas del equipo de Inglaterra, otros del equipo de Bélgica y el resto no son hinchas de ningún equipo. A través de la venta de boletos se sabe lo siguiente:

No hay espectadores que sean hinchas de los dos equipos simultáneamente.
Por cada trece hinchas de alguno de los dos equipos hay tres espectadores que no son hinchas.
Los hinchas del equipo de Bélgica superan en seis mil quinientos a los hinchas de Inglaterra.

¿Cuántos hinchas de cada equipo hay en el estadio viendo partido?

1. Capacidad hipotética planteada para el ejercicio. Aforo real 33.973 espectadores sentados en la Copa Mundial de la FIFA.

A continuación se presentan cinco enunciados, cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones correctas (más de una puede ser correcta en cada caso). Marque, con una $X$, aquella o aquellas opciones correctas.

Literal a. Dado el sistema de ecuaciones $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a-2&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\b+1\end{pmatrix}$se cumple que:

a.1. No es posible hallar valores de $a$,$b$ tales que el sistema tenga solución única.
a.2. Si $a\in \mathbb{R}$ y $b\neq-1$ el sistema tiene infinitas soluciones.
a.3. Si $a\neq 2$ y $b\neq-1$ el sistema tiene infinitas soluciones.
a.4. Si $a\neq 2$ y $b=-1$ el sistema tiene infinitas soluciones.

Literal b. Sea $(V,\mathbb{K})$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$. Si $W_1$ y $W_2$ son subespacios de $V$, entonces se cumple que:

b.1. $W_1 \cap W_2 \subseteq W_1 \cup W_2 \subseteq W_1 + W_2$.
b.2. Si $W_1 + W_2$ es un subespacio vectorial de $V$, entonces $W_1 \cup W_2$ siempre es un subespacio de $V$.
b.3. $W_1 + W_2$ es el menor subespacio que contiene a $W_1 \cup W_2$.
b.4. $W_1 \cap W_2$, $W_1 + W_2$ son subespacios.

Literal c. Dada la matriz $B=\begin{pmatrix}\begin{array} {rrrr} 2&-4&0&0 \\ -1&2&0&0 \\ 0&0&1&2 \end{array}\end{pmatrix}$, se cumple que:

c.1. El vector$(4,-2,-3)^T$ está en el espacio columna de $B$.
c.2. La nulidad de $B$ es $2$.
c.3. Todo vector de la forma $(-2y,y,z)^T$, con $y,z\in \mathbb{R}$, pertenece a la imagen de $B$.
c.4. El vector$(4,-2,-3)^T$ está en el núcleo de $B$.

Literal d. Considerando $V=\{(a,b,c,1)^T : a\in\mathbb{R^+}\enspace b,c\in\mathbb{R}\}$ con las operaciones$\begin{pmatrix}a\\b\\c\\1\end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}aa'\\b+b'+5\\c+c'\\1\end{pmatrix}$$\alpha \odot \begin{pmatrix}a\\b\\c\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^\alpha\\\alpha b+5\alpha-5\\ \alpha c\\1\end{pmatrix}$se cumple que:

d.1. Dados $(a,b,c,1)^T$, $(a',b',c',1)^T$ en $V$, se tiene que$\begin{pmatrix}a\\b\\c\\1\end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\\1\end{pmatrix}$ es un número real positivo.
d.2. El elemento neutro para la adición en $V$ es $\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1\\-5\\0\\1 \end{array} \end{pmatrix}$.
d.3. Si $(a,b,c,d)^T \in V$, entonces su elemento opuesto es $\begin{pmatrix} \frac{1}{a} \\-b-10\\c\\1\end{pmatrix}$.
d.4. $2 \odot \begin{pmatrix}1\\0\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5\\6\\1\end{pmatrix}$.

Literal e. Sea $(V,\mathbb{K})$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$ y $B=\{v_1,v_2,v_3\}$ una base para $V$, entonces se cumple que:

e.1. $\{v_1,v_2,v_3\}$ es un conjunto linealmente independiente en $V$.
e.2. $\{v_1+2v_2\}$ es es un conjunto linealmente independiente en $V$.
e.3. $gen\{v_1,2v_1\}$ es un subespacio de $V$.
e.4. Existe una base de $V$ que contiene al conjunto $\{v_1+v_2,v_2+v_3\}$