Categoría: Segunda evaluación

Dada la transformación lineal $T:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^3$ definida por$T\begin{pmatrix} \begin{array}{r} a\\b\\c \end{array} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} a-2b-2c\\-2a+bm+8c\\2a+8b+cm \end{array} \end{pmatrix},$determine los valores de la constante $m$ para los cuales no es diagonalizable en $\mathbb{R}$ la matriz $[T]_{BB}$, asociada a la transformación con respecto a las bases canónicas $B$ en $\mathbb{R}^3$.

Sea $V=P_3(\mathbb{R})$ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a $3$ con coeficientes reales, con el producto interno ${\langle f | g \rangle}=\int_{-1}^{1} f(x)g(x) dx.$

4.1. Determinar el complemento ortogonal de $W=gen\{ 1+x,x^2 - 1 \}.$
4.2. Escriba el vector $v=x^3+3x^2-x+1$ como suma de un elemento en $W$ y su complemento ortogonal $W^{\perp}$.

Sean ${\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_1$ y ${\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_2$ dos productos internos en un espacio vectorial $V$ sobre el campo de los complejos. Demuestre que ${\langle \cdotp | \cdotp \rangle}={\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_1+{\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_2$ es un producto interno sobre $V$.

Construya, de ser posible, una transformación lineal $T:M_{2\times 2}\longrightarrow \mathbb{R}^3$ tal que el núcleo de $T$ sea el conjunto de matrices simétricas de tamaño $2\times 2$, y$T\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 0&1\\-1&0 \end{array} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array} \end{pmatrix}.$

A continuación se presentan cuatro enunciados, cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones correctas (más de una puede ser correcta en cada caso). Marque, con una $X$, aquella o aquellas opciones correctas.

Literal a. Sea $T:V\longrightarrow W$ una transformación lineal. Si $dim{V}=n$ y $dim{W}=n-1$, es cierto que:

a.1. $T$ debe ser sobreyectiva.
a.2. $T(\textbf{0}_V)=\textbf{0}_W$.
a.3. Si $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ es un conjunto linealmente independiente en $V$, entonces no necesariamente $\{T(v_1),T(v_2),...,T(v_n)\}$ es un conjunto linealmente independiente de $W$.
a.4. El rango de $T$ es menor o igual a $n-1$.

Literal b. Si $u$ y $v$ son vectores ortogonales de un espacio real, entonces es cierto que:

b.1. $\lVert u+v\rVert^2=\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert^2$.
b.2. $u$ y $v$ son linealmente independientes.
b.3. $3u$ y $-4v$ son ortogonales.
b.4. $u$ y $u+v$ no pueden ser ortogonales.

Literal c. Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ en un campo $\mathbb{R}$, entonces es cierto que:

c.1. $A$ y $A^T$ tienen el mismo polinomio característico.
c.2. Si $A$ es ortogonalmente diagonalizable, entonces es simétrica.
c.3. $\lambda$ es un autovalor de $A$ sí, y solo sí, $\lambda$ es una raíz del polinomio característico de $A$.
c.4. La multiplicidad algebraica de un autovalor $\lambda$ se define como la dimensión del autoespacio $E_{\lambda}$.

Literal d. Sea $A$ una matriz cuadrada diagonalizable de orden $n$ con entradas en un campo $\mathbb{K}$ es cierto que:

d.1. $A$ tiene $n$ autovectores linealmente independientes.
d.2. $A$ tiene $n$ autovectores diferentes.
d.3. $A$ debe se una matriz simétrica.
d.4. Existen matrices cuadradas $P$ y $D$ tales que $A=P^{-1}DP$.