Categoría: Primera Evaluación

Sea $V=P_3(\mathbb{R})$ el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a $3$ y considere los subespacios $S=\{ p\in V\ {:}\ p'(1)=0\}$ y $T=gen\{ x-1,x^2-3x \}$. Determine:

a) Una base para el subespacio $S\cap T$.
b) Una base para el subespacio $S+T$.

Sean $V$ un espacio vectorial real, $f:V\longrightarrow \mathbb{R}$ y $g:V\longrightarrow \mathbb{R}$ dos transformaciones lineales. Se define $F:V\longrightarrow \mathbb{R}^2$ por $F(v)=\footnotesize{\left(\begin{array}{r} f(v) \\ g(v) \end{array}\right) }$. Determine si $F$ es una transformación lineal entre $V$ y $\mathbb{R}^2$ con las operaciones usuales.

Sea $V$ el espacio vectorial de las matrices diagonales de orden $2$, con entradas reales. Se tiene, para $V$, las bases $\footnotesize{A=\left\{\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\0 & 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\0 & -1 \end{array}\right) \right\}}$ y $\footnotesize{B=\left\{\left(\begin{array}{rr}2 & 0 \\0 & \alpha \end{array}\right) , \left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\0 & -2 \end{array}\right) \right\} }$.

Sea $V=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3\ {:} \ x,y,z > 0 \}$ el espacio vectorial con las operaciones $(x_1,y_1,z_1)\oplus(x_2,y_2,z_2)=(x_1x_2,y_1y_2,z_1z_2)$ y $\lambda\odot(x,y,z)=(x^\lambda,y^\lambda,z^\lambda)$. Determine:

a) el vector nulo, $0_V$,
b) el vector opuesto de $v=(2,3,1)$, y
c) si $(2,2,1)$ y $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$ son vectores linealmente independientes.

Se conoce que las ternas $(1,1,1)$ y $(-1,3,-9)$ pertenecen al conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales:$\left\{\begin{array}{c} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\\a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z=b_4 \end{array}\right.$Determine otro elemento del conjunto solución distinto a las ternas dadas.

A continuación se presentan cinco enunciados, cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones correctas (más de una puede ser correcta en cada caso). Marque, con una $X$, aquella o aquellas opciones correctas.

Literal a. Sea $V$ un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$. Para $u,v,w\in V$ y $\lambda, \mu\in \mathbb{K}$, es cierto que:

a.1. Si $v+u=u+w$, entonces $v=w$.
a.2. Si $\lambda u=\lambda v$, entonces $u=v$.
a.3. Si $\lambda v=\mu v$ y $v\neq 0_V$, entonces $\lambda=\mu$.
a.4. $dim(V)=dim(\mathbb{K})$.

Literal b. Sea $V$ un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$. Es cierto que:

b.1. Si $V=gen\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ y $\{ u_1,u_2,...,u_k \}$ es un conjunto de vectores linealmente independientes en V, entonces $n\geq k$.
b.2. Si $V$ es generado por el conjunto $S=\{ v_1,v_2,...,v_n \}$, entonces $S$ contiene una base.
b.3. Si $S=\{ u_1,u_2,...,u_k \}$ es un conjunto linealmente independiente, entonces $S$ es un subconjunto de una base de $V$.
b.4. Si $S=\{ u_1,u_2,...,u_k \}$ es un conjunto linealmente independiente, entonces $S$ contiene una base de $V$.

Literal c. Sean $V$ un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}_V$ y $W$ un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}_W$. Si $T:V \longrightarrow W$ es una transformación lineal, es cierto que:

c.1. Las operaciones $v+w$ y $T(v)+T(w)$ son operaciones en el espacio vectorial $V$.
c.2. $T(v+\alpha w)=T(v)+\alpha T(w)$.
c.3. $T(0_V)=0_W$.
c.4. Los campos $K_V$ y $K_W$ deben ser iguales.

Literal d. Sean $V$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $\mathbb{K}$. Considere $W_1, W_2$ dos subespacios de $V$. Es cierto que:

d.1. $dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)$.
d.2. Los complementos de $W_1$ y $W_2$, con respecto a $V$, son subespacios vectoriales de $V$.
d.3. $W_1 \cup W_2$, es el menor subespacio que contiene a $W_1+W_2$.
d.4. $W_1 \cap W_2$, $W_1+W_2$ son subespacios de $V$.