Segunda Evaluación |

Tema 6

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 6

Sea $(V,{\langle \cdotp | \cdotp \rangle})$ un espacio con producto interno definido sobre un campo $\mathbb{K}$ y sea $W$ un subespacio de $V$ . Demuestre que el complemento ortogonal de $W$ , $W^{\perp}$ , es un subespacio de $V$ y determine el conjunto $W\cap W^{\perp}$ .

Tema 5

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 5

Considere el siguiente teorema: Si $V$ y $U$ son dos espacios vectoriales sobre un campo $\mathbb{K}$ , $V$ de dimensión finita y $L:V\longrightarrow U$ una transformación lineal, entonces $Rango\,(L)+Nulidad\,(L)=dim\,(V)$
A continuación, se presenta un conjunto de pasos que ordenados pertinentemente representan la demostración de este teorema para el caso en que $k=Nulidad\,(L)<dim\,(V)=n$ . En cada círculo en blanco indique el orden que corresponda al paso adjunto para que la demostración sea expresada de manera correcta.

$\bigcirc$	Si $u\in Im\,(L)$ , entonces existe un vector $v\in V$ tal que $L(v)=u$ y $v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n$ con $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n \in \mathbb{K}$ .
$\bigcirc$	Se obtiene entonces que ${Rango\,(L)+Nulidad\,(L)=(n-k)+k=n=dim\,(V)}$ .
$\bigcirc$	Sea $B_1=\{v_1,v_2,...,v_k\}$ una base para el $Ker\,(L)$ .
$\bigcirc$	$T$ debe ser inyectiva.
$\bigcirc$	Existen entonces $c_1,c_2,...,c_k\in \mathbb{K}$ tales que $\gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\gamma_{n}v_{n}=c_1 v_1+c_2 v_2 +...+c_k v_k$ , de donde $c_1 v_1 + c_2 v_2 +...+c_k v_k -\gamma_{k+1}v_{k+1}-...-\gamma_{n}v_{n}=0_V$ .
$\bigcirc$	Se pueden elegir vectores $v_{k+1},v_{k+2},...,v_{n}$ tales que $B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ sea una base para $V$ .
$\bigcirc$	Se tiene entonces que $c_1=c_2=...=c_k=\gamma_{k+1}=...=\gamma_n=0$ por lo tanto $\{ L(v_{k+1}),...,L(v_n) \}$ es linealmente independiente y base de $Im(L)$ .
$\bigcirc$	Si $\gamma_{k+1}L(v_{k+1})+...+\gamma_{n}L(v_{n})=0_U$ se tiene que $L(\gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\gamma_{n}v_n)=0_U$ , esto es $\gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\gamma_{n}v_n\in Ker(L)$ .
$\bigcirc$	Luego, $u=\alpha_{k+1}L(v_{k+1})+...+\alpha_n L(v_n)$ , por lo tanto $\{ L(v_{k+1}),...,L(v_n) \}$ genera a $Im(L)$ .

Tema 4

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 4

Demuestre que si $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$ , con producto interno ${\langle \cdotp | \cdotp \rangle}$ , entonces para todo $a\in \mathbb{K}$ y $v_1,v_2,v_3\in V$ se tiene que ${\langle v_1 | \alpha v_2+v_3 \rangle}=\overline{\alpha}{\langle v_1 | v_2 \rangle}+{\langle v_1 | v_3 \rangle}$ .

Tema 3

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 3

Determine los valores de la constante a para los cuales la matriz real $\footnotesize{\begin{pmatrix}\begin{array} {rcr} 1&a&a \\ -1&1&-1 \\ 1&0&2 \end{array}\end{pmatrix}}$ sea diagonalizable.

Tema 2

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 2

De ser posible, construya una transformación lineal $T$ de $P_2(\mathbb{R})$ en $\mathbb{R}^3$ tal que $\begin{array}{c} T\begin{pmatrix} x^2+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\-1\\0 \end{array} \end{pmatrix} \\ \\ T\begin{pmatrix} x+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0\\2\\1 \end{array} \end{pmatrix} \\ \\T\begin{pmatrix} x^2-x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\-3\\-1 \end{array} \end{pmatrix} \end{array}$

Tema 1

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 1

A continuación se presentan tres enunciados cada uno de los cuales tienen cinco posibles opciones de respuesta (más de una puede ser correcta en cada caso). Rellene el círculo de aquella o aquellas opciones correctas. Cada selección incorrecta restará medio punto a la calificación del tema.

Literal a. Sean $T:V \longrightarrow W$ una transformación lineal. Si $dim\, V=n$ y $dim \,W=n-1$ , entonces es cierto que:

$\bigcirc$	Si ${v_1,v_2,...,v_n}$ es un conjunto linealmente independiente en $V$ , entonces ${T(v_1),T(v_2),...,T(v_n)}$ es un conjunto linealmente independiente de $W$ .
$\bigcirc$	$T(\bold{0}_v)=\bold{0}_v$ .
$\bigcirc$	$T$ debe ser sobreyectiva.
$\bigcirc$	$T$ debe ser inyectiva.
$\bigcirc$	El rango de $T$ es menor o igual a $n-1$ .

Literal b. Si $u$ y $v$ son vectores ortogonales de un espacio vectorial $(V,{\langle} \cdot|\cdot {\rangle})$ , entonces es cierto que:

$\bigcirc$	${\lVert u+v \rVert}^2 = {\lVert u \rVert}^2 + {\lVert v \rVert}^2$ .
$\bigcirc$	$\{u,v\}$ es un conjunto linealmente independiente.
$\bigcirc$	Si $u$ y $v$ son no nulos, existe una base de $V$ que contenga a estos dos vectores.
$\bigcirc$	$u$ y $u+v$ no pueden ser ortogonales.
$\bigcirc$	$u$ y $u+v$ son ortogonales si $u$ es no nulo.

Literal c. Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ con entradas en un campo $\mathbb{K}$ , entonces es cierto que:

$\bigcirc$	$A$ y su transpuesta tienen el mismo polinomio característico.
$\bigcirc$	$A$ tiene $n$ autovectores linealmente independientes.
$\bigcirc$	Si $A$ tiene $n$ autovalores diferentes entonces es diagonalizable.
$\bigcirc$	Si $A$ es diagonalizable entonces debe ser una matriz simétrica.
$\bigcirc$	Si $A$ es una matriz simétrica entonces todos sus valores propios son números reales.