Tercera Evaluación |

Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 4

Considere la función $T:P_1(\mathbb{R})\longrightarrow \mathbb{R}^3$ definida por $T(ax+b)=(a+2b,a-b,b)$ , donde $P_1(\mathbb{R})$ denota el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual a $1$ , con las operaciones usuales.

a.	Verifique que $T$ es una transformación lineal.
b.	Considere las bases $B_{\mathbb{R}^3}=\{ (1,0,0),(1,1,0),(0,1,1) \}$ y $B_{P_1(\mathbb{R})}=\{ 1,x+1 \}$ de $P_1(\mathbb{R})$ y $\mathbb{R}^3$ respectivamente, construya la matriz asociada a la transformación lineal de la base $B_{P_1(\mathbb{R})}$ a la base $B_{\mathbb{R}^3}$ .

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 3

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $3$ , con entradas reales y cuyos subespacios propios son $E_{\lambda_1}=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \ :\ x+y=0\ ,\ z=0 \}$ y $E_{\lambda_2}=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \ :\ x-y-2z=0 \}$ . Determine:

a.	Una base para $E_{\lambda_1}$ .
b.	Una base para $E_{\lambda_2}$ .
c.	Si la matriz $A$ es diagonalizable.
d.	Si la matriz $A$ es diagonalizable ortogonalmente.
e.	El complemento ortogonal de $E_{\lambda_2}$ , considerando en $\mathbb{R}^3$ el producto interno canónico.

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 2

Dado el sistema de ecuaciones $\left \lbrace \begin{alignedat}{3} &x + &3&y+&&z = 2 \\ &x + &2&y-&5&z = 4 \\ 2&x + &5&y-&{a^2}&z = a+4 \end{alignedat}\right.$ determine de ser posible:

a.	El valor de $a$ tal que el sistema tenga solución única.
b.	El valor de $a$ tal que el sistema tenga infinitas soluciones.
c.	El valor de $a$ tal que el sistema no tenga solución.

Tema 5

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 5

Sea $T:V\longrightarrow U$ una transformación lineal entre los espacios vectoriales $V$ y $U$ . Suponga que $V$ es de dimensión finita y que $T$ no es inyectiva. Demuestre que $dim(V)$ es igual a la suma de las dimensiones de la imagen de $T$ y la dimensión de su núcleo. Esto es, $dim(V)=dim(Imagen(T))+dim(Ker(T))$ .

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 1

A continuación encontrará diez afirmaciones. Indique, rellenando el círculo adjunto, cuáles de ellas es son verdaderas. Cada respuesta incorrecta eliminará una respuesta correcta.

a.	Si $(V,+,\cdot)$ es un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$ y $v_1$ , $v_2$ y $v_3$ son vectores de $V$ , entonces el conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores $v_1$ , $v_2$ y $v_3$ forman un subespacio de $V$ .	$\bigcirc$
b.	Si $(V,+,\cdot)$ es un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$ . Se dice que el conjunto $B=\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ es una base de $V$ si $B$ es un conjunto linealmente independiente.	$\bigcirc$
c.	Sean $u_1$ y $u_2$ dos vectores propios de la matriz $A$ asociados al autovalor $\lambda$ , entonces $u_1$ y $u_2$ deben ser vectores ortogonales.	$\bigcirc$
d.	Si $T:V\longrightarrow W$ es una transformación lineal inyectiva, entonces $V$ y $W$ deben tener la misma dimensión.	$\bigcirc$
e.	Si $(V,+,\cdot)$ es un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$ y $W_1$ y $W_2$ son dos subespacios de $V$ de dimensión finita, entonces $\footnotesize{dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)}$ .	$\bigcirc$
f.	Sean $U$ y $V$ espacios vectoriales definidos sobre un mismo campo $\mathbb{K}$ . Si $B=\{ v_1,v_2,v_3 \}$ es una base de $V$ junto con $u_1$ y $u_2$ vectores en $U$ , entonces existe una unica transforamción lineal $T:V\longrightarrow U$ tal que $T(v_1)=u_1$ , $T(v_2)=u_2$ y $T(v_3)=\bold{0}_U$ .	$\bigcirc$
g.	Si $S$ es un conjunto ortogonal de vectores no nulos en un espacio vectorial $V$ , sobre el cual se ha definido un producto interno, entonces $S$ es un conjunto linealmente independiente en $V$ .	$\bigcirc$
h.	Si $T:V\longrightarrow W$ es una transformación lineal y $B=\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ es una base de $V$ , entonces $\{ T(v_1),T(v_2),...,T(v_n) \}$ es una base de la imagen de $T$ .	$\bigcirc$
i.	Si $A$ es una matriz cuadrada de entradas reales, entonces todos sus valores propios serán números reales distintos de cero.	$\bigcirc$
j.	Sea $A$ es una matriz cuadrada de orden cinco con $\lambda_1$ y $\lambda_2$ valores propios diferentes, entonces $A$ es diagonalizable si y solo si $dim(E_{\lambda_1})+dim(E_{\lambda_2})=5$ , donde $E_{\lambda_i}$ , denota el espacio propio asociado a $\lambda_i$ .	$\bigcirc$